ExerciceTerminale, chapitre 5 — Fonctions exponentielle et logarithme · Exercices de synthèse

Exercice 25 Type Bac

Type BacLecture graphiqueConjectureDémonstrationCalcul

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2-x)\mathrm{e}^{x}$ . On a représenté ci-dessous sa courbe $\mathcal{C}$ , ainsi que la droite d'équation $y=1$ .

1. Lecture graphique. Par simple lecture de la figure, conjecturer :

(a) les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$ , ainsi que l'existence d'une asymptote ;

(b) le sens de variation de $f$ et l'abscisse de son maximum ;

(c) le nombre de solutions de l'équation $f(x)=1$ , et un encadrement de chacune à l'unité ;

(d) le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$ .

Les questions suivantes ont pour but de démontrer ces conjectures.

2. Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ . En déduire une asymptote à $\mathcal{C}$ .

3. Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .

4. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{x}$ .

5. Étudier le signe de $f'$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

6. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ .

7. Résoudre l'équation $f(x)=0$ , puis en déduire le signe de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

8. Démontrer que l'équation $f(x)=1$ admet exactement deux solutions sur $\mathbb{R}$ , puis donner un encadrement de chacune d'elles d'amplitude $0{,}1$ .

Corrigé

1. Lecture graphique.

(a) La courbe semble se rapprocher de l'axe des abscisses en $-\infty$ : on conjecture $\lim_{x\to-\infty}f(x)=0$ et une asymptote horizontale d'équation $y=0$ . En $+\infty$ , la courbe plonge : $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ .

(b) $f$ semble croissante puis décroissante, avec un maximum atteint pour $x=1$ .

(c) La droite $y=1$ coupe la courbe en deux points, l'un d'abscisse comprise entre $-2$ et $-1$ , l'autre entre $1$ et $2$ .

(d) La courbe est au-dessus de l'axe avant $2$ et en dessous après : $f$ semble positive sur $]-\infty\,;2[$ et négative sur $]2\,;+\infty[$ .

2. $f(x)=2\mathrm{e}^{x}-x\,\mathrm{e}^{x}$ . Or $\mathrm{e}^{x}\to 0$ et $x\,\mathrm{e}^{x}\to 0$ par croissances comparées : $\boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=0}$

\boxed{\text{La droite d'équation } y=0 \text{ est asymptote horizontale en } -\infty.}

3. $2-x\to-\infty$ et $\mathrm{e}^{x}\to+\infty$ , donc par produit $\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}$

4. $f'(x)=-\mathrm{e}^{x}+(2-x)\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}\big(-1+2-x\big)=\boxed{(1-x)\mathrm{e}^{x}}$

5. Le facteur $\mathrm{e}^{x}$ est strictement positif : $f'$ a le signe de $1-x$ .

Les conjectures des questions 1.(a) et 1.(b) sont donc démontrées.

6. $f(0)=2$ et $f'(0)=1$ , d'où $\boxed{T : y=x+2}$ .

7. $f(x)=0$ équivaut à $(2-x)\mathrm{e}^{x}=0$ . Comme $\mathrm{e}^{x}\neq 0$ , il reste $\boxed{x=2}$ , et le signe de $f$ est celui de $2-x$ : $\boxed{f>0 \text{ sur } ]-\infty\,;2[ \quad\text{et}\quad f<0 \text{ sur } ]2\,;+\infty[.}$

8. Sur $]-\infty\,;1]$ , $f$ est continue et strictement croissante, de $0$ à $\mathrm{e}\approx 2{,}718$ . Comme $1\in\,]0\,;\mathrm{e}[$ , le théorème de la bijection assure l'existence d'une unique solution $\alpha$ . Sur $[1\,;+\infty[$ , $f$ est continue et strictement décroissante de $\mathrm{e}$ à $-\infty$ , et $1<\mathrm{e}$ : une unique solution $\beta$ . $\boxed{\text{L'équation } f(x)=1 \text{ admet exactement deux solutions.}}$ À la calculatrice : $f(-1{,}2)\approx 0{,}96<1$ et $f(-1{,}1)\approx 1{,}03>1$  ; $f(1{,}8)\approx 1{,}21>1$ et $f(1{,}9)\approx 0{,}67<1$ . $\boxed{-1{,}2<\alpha<-1{,}1 \qquad\text{et}\qquad 1{,}8<\beta<1{,}9}$

Énoncé PDF, p. 8 Corrigé PDF, p. 12 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

L'exponentielle, réciproque du logarithme Opérations sur les fonctions dérivables Signe de la dérivée et monotonie Développement limité à l'ordre 1 et continuité Extremum local et dérivée nulle Théorème des valeurs intermédiaires

Thèmes

exponentielle, équation, dérivée, tableau de variations, limite, asymptote, tangente, théorème des valeurs intermédiaires

Notions

exponentielle, dérivable