Exercice 26 Type Bac

1. $\ln(x)\to-\infty$ et $-x+3\to 3$, donc $\boxed{\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty}$

2. Pour $x>0$, on factorise par $x$ : $$f(x)=x\left(\frac{2\ln(x)}{x}-1+\frac{3}{x}\right)$$ Par croissances comparées, $\dfrac{\ln(x)}{x}\to 0$, et $\dfrac{3}{x}\to 0$ : la parenthèse tend donc vers $-1$, tandis que $x\to+\infty$. $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}$$

3. $f'(x)=\dfrac{2}{x}-1=\boxed{\dfrac{2-x}{x}}$

4. Sur $]0\,;+\infty[$, $f'$ a le signe de $2-x$, et le maximum vaut $f(2)=2\ln(2)-2+3=2\ln(2)+1$.

Valeur approchée du maximum : $2\ln(2)+1\approx 2{,}386$.

5. Sur $]0\,;2]$, $f$ est continue et strictement croissante de $-\infty$ à $2\ln(2)+1>0$ : d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$. Sur $[2\,;+\infty[$, $f$ est continue et strictement décroissante de $2\ln(2)+1$ à $-\infty$ : une unique solution $\beta$. $$\boxed{\text{L'équation } f(x)=0 \text{ admet exactement deux solutions } \alpha<2<\beta.}$$

6. $f(0{,}2)\approx-0{,}42<0$ et $f(0{,}3)\approx 0{,}29>0$ ; $f(6)\approx 0{,}58>0$ et $f(7)\approx-0{,}11<0$ : $$\boxed{0{,}2<\alpha<0{,}3 \qquad\text{et}\qquad 6<\beta<7}$$

7. D'après le tableau de variations et le signe des valeurs : $$\boxed{f<0 \text{ sur } ]0\,;\alpha[\ \cup\ ]\beta\,;+\infty[ \quad\text{et}\quad f>0 \text{ sur } ]\alpha\,;\beta[.}$$

8. $f(1)=2\ln(1)-1+3=2$ et $f'(1)=\dfrac{2-1}{1}=1$, d'où $$\boxed{y=x+1}$$