Exercice 27 Type Bac

1. Lecture graphique.

(a) Au bout de $3$ heures, on lit environ $\boxed{1{,}5 \text{ mg}}$.

(b) La droite $y=2{,}5$ coupe la courbe pour $t\approx\boxed{1{,}7 \text{ h}}$.

(c) La droite $y=1$ coupe la courbe pour $t\approx\boxed{4 \text{ h}}$.

2. $Q(0)=5\,\mathrm{e}^{0}=\boxed{5 \text{ mg}}$

3. $Q'(t)=5\times(-0{,}4)\mathrm{e}^{-0{,}4t}=\boxed{-2\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}}$

Ce nombre est strictement négatif pour tout $t$, donc $Q$ est strictement décroissante sur $[0\,;+\infty[$. C'était prévisible : le médicament est progressivement éliminé par l'organisme.

4. Comme $-0{,}4t\to-\infty$, on a $\boxed{\lim_{t\to+\infty}Q(t)=0}$. $$\boxed{\text{Le médicament finit par être totalement éliminé, sans jamais disparaître complètement.}}$$

5. On résout $Q(t)=2{,}5$ : $$5\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}=2{,}5 \iff \mathrm{e}^{-0{,}4t}=0{,}5 \iff -0{,}4t=\ln(0{,}5) \iff t=\frac{\ln(2)}{0{,}4}$$

$$\boxed{t=\frac{\ln(2)}{0{,}4}\approx 1{,}73 \text{ h, soit environ } 1 \text{ h } 44 \text{ min.}}$$ Ce résultat confirme la lecture graphique de la question 1.(b).

6. On résout $Q(t)<1$ : $$5\,\mathrm{e}^{-0{,}4t}<1 \iff \mathrm{e}^{-0{,}4t}<0{,}2 \iff -0{,}4t<\ln(0{,}2) \iff t>\frac{\ln(5)}{0{,}4}$$

7. $Q'(0)=-2\,\mathrm{e}^{0}=\boxed{-2}$. $$\boxed{\text{À l'instant de l'injection, le médicament s'élimine au rythme de } 2 \text{ mg par heure.}}$$ C'est le moment où l'élimination est la plus rapide, puisque $|Q'|$ décroît ensuite.