Exercice 28 Type Bac

Partie A

1. Lecture graphique. La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points, l'un d'abscisse comprise entre $-2$ et $-1$, l'autre entre $1$ et $2$. Elle est au-dessus de l'axe à l'extérieur de ces deux valeurs, et en dessous entre elles : $g$ semble donc positive sur $]-\infty\,;\alpha[$ et sur $]\beta\,;+\infty[$, négative sur $]\alpha\,;\beta[$.

2. En $-\infty$ : $\mathrm{e}^{x}\to 0$ et $-x-2\to+\infty$, donc $\boxed{\lim_{x\to-\infty}g(x)=+\infty}$.

En $+\infty$ : on factorise par $\mathrm{e}^{x}$, sous la forme $g(x)=\mathrm{e}^{x}\left(1-\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}-\dfrac{2}{\mathrm{e}^{x}}\right)$, la parenthèse tendant vers $1$ : $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty}$$

3. $g'(x)=\mathrm{e}^{x}-1$, qui s'annule en $0$, est négatif avant et positif après.

4. Sur $]-\infty\,;0]$, $g$ est continue et strictement décroissante de $+\infty$ à $-1<0$ : le théorème de la bijection donne une unique solution $\alpha$, qui vérifie $\alpha<0$. Sur $[0\,;+\infty[$, $g$ est continue et strictement croissante de $-1$ à $+\infty$ : une unique solution $\beta>0$. $$\boxed{\text{L'équation } g(x)=0 \text{ admet exactement deux solutions } \alpha<0<\beta.}$$

5. $g(-1{,}9)\approx 0{,}05>0$ et $g(-1{,}8)\approx-0{,}03<0$ ; $g(1{,}1)\approx-0{,}10<0$ et $g(1{,}2)\approx 0{,}12>0$ : $$\boxed{-1{,}9<\alpha<-1{,}8 \qquad\text{et}\qquad 1{,}1<\beta<1{,}2}$$

6. $\boxed{g>0 \text{ sur } ]-\infty\,;\alpha[\ \cup\ ]\beta\,;+\infty[ \quad\text{et}\quad g<0 \text{ sur } ]\alpha\,;\beta[.}$

Partie B

7. $f'(x)=\mathrm{e}^{x}-\dfrac{2x}{2}-2=\mathrm{e}^{x}-x-2=\boxed{g(x)}$

8. Le signe de $f'$ est donc celui de $g$, déterminé à la question 6 :

9. En $-\infty$ : $\mathrm{e}^{x}\to 0$ et $-\dfrac{x^{2}}{2}-2x\to-\infty$ (le terme en $x^{2}$ l'emporte), donc $\boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}$.

En $+\infty$, on factorise par $x^{2}$ : $$f(x)=x^{2}\left(\frac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}-\frac{1}{2}-\frac{2}{x}\right)$$ Par croissances comparées, $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}\to+\infty$, donc la parenthèse tend vers $+\infty$ : $\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$.

10. Par définition, $g(\alpha)=0$, c'est-à-dire $\mathrm{e}^{\alpha}-\alpha-2=0$, soit $\boxed{\mathrm{e}^{\alpha}=\alpha+2}$. En reportant dans $f$ : $$f(\alpha)=\mathrm{e}^{\alpha}-\frac{\alpha^{2}}{2}-2\alpha=(\alpha+2)-\frac{\alpha^{2}}{2}-2\alpha$$

11. Le même raisonnement s'applique à $\beta$, puisque $g(\beta)=0$ : $$\boxed{f(\beta)=2-\beta-\frac{\beta^{2}}{2}}$$ Avec $\beta\approx 1{,}146$ : $f(\beta)\approx 2-1{,}146-0{,}657\approx\boxed{0{,}20}$.