ExerciceTerminale, chapitre 5 — Fonctions exponentielle et logarithme · Exercices de synthèse

Exercice 29 Type Bac

Type BacAlgorithmiqueDémonstrationCalcul

Une entreprise possède un parc de $100$ machines au $1^{\text{er}}$ janvier $2025$ . Chaque année, elle met au rebut $20\,\%$ de son parc et achète $60$ machines neuves.

On note $u_{n}$ le nombre de machines au $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2025+n$ , de sorte que $u_{0}=100$ .

1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=0{,}8\,u_{n}+60$ .

2. Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ .

3. On pose $v_{n}=u_{n}-300$ . Démontrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

4. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n}=300-200\times 0{,}8^{\,n}$

5. Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ et interpréter ce résultat dans le contexte.

6. La suite $(u_{n})$ est-elle croissante ? Justifier.

7. Déterminer, par le calcul, la plus petite année à partir de laquelle le parc dépassera $290$ machines.

8. Recopier et compléter la fonction Python suivante, qui renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_{n}>s$ :

def seuil(s):
    u = 100
    n = 0
    while ... :
        u = ...
        n = n + 1
    return n

Corrigé

1. Chaque année, $20\,\%$ du parc est mis au rebut : il en reste donc $80\,\%$ , soit $0{,}8\,u_{n}$ machines, auxquelles s'ajoutent les $60$ machines neuves : $\boxed{u_{n+1}=0{,}8\,u_{n}+60}$

2. $u_{1}=0{,}8\times 100+60=\boxed{140}$ $u_{2}=0{,}8\times 140+60=\boxed{172}$ $u_{3}=0{,}8\times 172+60=\boxed{197{,}6}$

3. Pour tout entier naturel $n$ : $v_{n+1}=u_{n+1}-300=0{,}8\,u_{n}+60-300=0{,}8\,u_{n}-240=0{,}8\left(u_{n}-300\right) =0{,}8\,v_{n}$

\boxed{(v_{n}) \text{ est géométrique de raison } 0{,}8 \text{ et de premier terme } v_{0}=100-300=-200.}

4. On en déduit $v_{n}=-200\times 0{,}8^{\,n}$ , puis $u_{n}=v_{n}+300$ : $\boxed{u_{n}=300-200\times 0{,}8^{\,n}}$

5. Comme $-1<0{,}8<1$ , on a $0{,}8^{\,n}\to 0$ , donc $\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_{n}=300}$ . $\boxed{\text{Le parc se stabilise à long terme autour de } 300 \text{ machines.}}$

6. Pour tout $n$ : $u_{n+1}-u_{n}=-200\times 0{,}8^{\,n+1}+200\times 0{,}8^{\,n} =200\times 0{,}8^{\,n}\left(1-0{,}8\right)=40\times 0{,}8^{\,n}>0$

\boxed{\text{La suite } (u_{n}) \text{ est strictement croissante.}}

7. On résout : $300-200\times 0{,}8^{\,n}>290 \iff 200\times 0{,}8^{\,n}<10 \iff 0{,}8^{\,n}<0{,}05$ En appliquant le logarithme, et comme $\ln(0{,}8)<0$ : $n>\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}8)}\approx 13{,}43 \qquad\Longrightarrow\qquad n=14$

$\boxed{\text{Le parc dépassera } 290 \text{ machines au } 1^{\text{er}} \text{ janvier } 2039.}$ Vérification : $u_{13}\approx 289{,}0$ et $u_{14}\approx 291{,}2$ .

def seuil(s):
    u = 100
    n = 0
    while u <= s:
        u = 0.8*u + 60
        n = n + 1
    return n

L'appel seuil(290) renvoie bien 14.

Énoncé PDF, p. 10 Corrigé PDF, p. 16 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Suite convergente, limite Théorème de la limite monotone

Thèmes

seuil, suite, Python

Notions

suite