Exercice 12

1. $\mathrm{e}^{x}=5$ donne $\boxed{x=\ln(5)}$. $\mathrm{e}^{2x-1}=7$ donne $2x-1=\ln(7)$, soit $\boxed{x=\dfrac{\ln(7)+1}{2}}$.

2. On pose $X=\mathrm{e}^{x}$, avec $X>0$. L'équation devient $X^{2}-3X+2=0$, de discriminant $\Delta=1$, d'où $X=1$ ou $X=2$. Les deux valeurs étant positives : $$\mathrm{e}^{x}=1 \text{ ou } \mathrm{e}^{x}=2 \qquad\text{soit}\qquad \boxed{x=0 \text{ ou } x=\ln(2)}$$

3. En multipliant par $\mathrm{e}^{x}$, qui est non nul : $$\mathrm{e}^{2x}+6=5\,\mathrm{e}^{x} \iff \mathrm{e}^{2x}-5\mathrm{e}^{x}+6=0$$ Avec $X=\mathrm{e}^{x}$ : $X^{2}-5X+6=0$ donne $X=2$ ou $X=3$, d'où $\boxed{x=\ln(2) \text{ ou } x=\ln(3)}$.

4. $X^{2}-X-6=0$ donne $X=3$ ou $X=-2$. La valeur $-2$ est à rejeter car $\mathrm{e}^{x}>0$ : $$\boxed{x=\ln(3)}$$

5. C.E. : $x>0$. On pose $X=\ln(x)$ : $X^{2}-3X+2=0$ donne $X=1$ ou $X=2$, d'où $$\boxed{x=\mathrm{e} \text{ ou } x=\mathrm{e}^{2}}$$