ExerciceTerminale, chapitre 5 — Fonctions exponentielle et logarithme · Logarithme : calculs, équations et inéquations

Exercice 11

Calcul

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes. On commencera systématiquement par déterminer la condition d'existence.

a) $\ln(x)=3$

b) $\ln(2x-1)=0$

c) $\ln(x+2)=\ln(3x-4)$

d) $2\ln(x)=\ln(9)$

e) $\ln(x)+\ln(x+3)=\ln(10)$

f) $\ln(x-1)+\ln(x+1)=\ln(8)$

Corrigé

a) Condition d'existence : $x>0$ . Alors $\boxed{x=\mathrm{e}^{3}}$ .

b) C.E. : $x>\dfrac{1}{2}$ . On a $\ln(2x-1)=\ln(1)$ , donc $2x-1=1$ et $\boxed{x=1}$ , qui convient.

c) C.E. : $x>-2$ et $x>\dfrac{4}{3}$ , soit $x>\dfrac{4}{3}$ . L'équation donne $x+2=3x-4$ , soit $\boxed{x=3}$ , qui convient.

d) C.E. : $x>0$ . Alors $\ln\left(x^{2}\right)=\ln(9)$ donne $x^{2}=9$ , d'où $x=3$ ou $x=-3$  ; seule $\boxed{x=3}$ convient.

e) C.E. : $x>0$ et $x>-3$ , soit $x>0$ . L'équation devient $\ln\big(x(x+3)\big)=\ln(10) \iff x^{2}+3x-10=0$ Le discriminant vaut $\Delta=9+40=49$ , d'où $x=2$ ou $x=-5$ . Seule $\boxed{x=2}$ convient.

f) C.E. : $x>1$ . L'équation devient $\ln\left(x^{2}-1\right)=\ln(8)$ , soit $x^{2}=9$ , d'où $x=3$ ou $x=-3$  ; seule $\boxed{x=3}$ convient.

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Dans l'édifice

Le logarithme, aire sous l'hyperbole

Thèmes

logarithme, équation, ensemble de définition

Notions

logarithme