Exercice 31 La fonction puissance

1. Pour $a=3$ et $x=2$ : $$2^{3}=\mathrm{e}^{3\ln(2)}=\left(\mathrm{e}^{\ln(2)}\right)^{3}=2^{3}=\boxed{8}$$ La définition coïncide donc bien avec la puissance usuelle.

2. La fonction $x\mapsto a\ln(x)$ est dérivable sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$, et sa dérivée vaut $\dfrac{a}{x}$. Par composition avec l'exponentielle : $$f_{a}'(x)=\frac{a}{x}\times\mathrm{e}^{a\ln(x)}=\frac{a}{x}\times x^{a} =a\times\frac{x^{a}}{x}=\boxed{a\,x^{\,a-1}}$$ en utilisant $\dfrac{x^{a}}{x^{1}}=\mathrm{e}^{a\ln(x)-\ln(x)}=\mathrm{e}^{(a-1)\ln(x)}=x^{\,a-1}$.

3. Pour $a=\dfrac{1}{2}$, on a $f_{a}(x)=x^{\frac{1}{2}}=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}\ln(x)}=\sqrt{x}$, et $$f_{a}'(x)=\frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt{x}} =\boxed{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$$ On retrouve exactement la dérivée connue depuis la Première.

4. Comme $x^{\,a-1}>0$ pour tout $x>0$, le signe de $f_{a}'$ est celui de $a$ : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{si } a>0 : f_{a} \text{ est strictement croissante sur } ]0\,;+\infty[ ; \\[1mm] \text{si } a=0 : f_{a} \text{ est constante égale à } 1 ; \\[1mm] \text{si } a<0 : f_{a} \text{ est strictement décroissante.} \end{array}}$$

5. On a $x^{a}=\mathrm{e}^{a\ln(x)}$, et $\ln(x)\to+\infty$ quand $x\to+\infty$ : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{si } a>0 : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{a}=+\infty \quad\text{et}\quad \lim_{x\to 0^{+}}x^{a}=0 ; \\[2mm] \text{si } a<0 : \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^{a}=0 \quad\text{et}\quad \lim_{x\to 0^{+}}x^{a}=+\infty. \end{array}}$$

6. Il suffit de revenir à l'exponentielle : $$x^{a}\times x^{b}=\mathrm{e}^{a\ln(x)}\times\mathrm{e}^{b\ln(x)}=\mathrm{e}^{(a+b)\ln(x)}=\boxed{x^{\,a+b}}$$

$$\left(x^{a}\right)^{b}=\mathrm{e}^{b\ln\left(x^{a}\right)}=\mathrm{e}^{b\times a\ln(x)}=\boxed{x^{\,ab}}$$ en utilisant $\ln\left(x^{a}\right)=\ln\left(\mathrm{e}^{a\ln(x)}\right)=a\ln(x)$.

7. En élevant les deux membres à la puissance $\dfrac{3}{2}$, ce qui est licite d'après la question 6 : $$\left(x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}=4^{\frac{3}{2}} \iff x=\left(4^{\frac{1}{2}} \right)^{3}=2^{3}=\boxed{8}$$ Vérification : $8^{\frac{2}{3}}=\left(8^{\frac{1}{3}}\right)^{2}=2^{2}=4$.

8. $\left(\sqrt{2}\right)^{2}=2$, tandis que $2^{\sqrt{2}}=\mathrm{e}^{\sqrt{2}\ln(2)}$. Comme $\sqrt{2}\approx 1{,}414>1$ et que la fonction $x\mapsto 2^{x}$ est strictement croissante : $$2^{\sqrt{2}}>2^{1}=2$$