Exercice 32 Les intérêts composés et le nombre e

Partie A

1. Si $n>|x|$, alors $\left|\dfrac{x}{n}\right|<1$, donc $\dfrac{x}{n}>-1$ et $$\boxed{1+\frac{x}{n}>0}$$ Le logarithme de ce nombre existe donc, ce qui donne un sens à l'écriture proposée.

2. Par définition de la puissance de base quelconque : $$w_{n}=\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=\mathrm{e}^{\,n\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)}$$

3. Avec $t_{n}=\dfrac{x}{n}$, on a $n=\dfrac{x}{t_{n}}$, d'où $$n\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)=\frac{x}{t_{n}}\times\ln\left(1+t_{n}\right) =\boxed{x\times\frac{\ln\left(1+t_{n}\right)}{t_{n}}}$$

4. Le réel $x$ étant fixé et $n$ tendant vers $+\infty$, on a $t_{n}=\dfrac{x}{n}\longrightarrow 0$. La limite du cours donne alors $\dfrac{\ln\left(1+t_{n}\right)}{t_{n}}\longrightarrow 1$, donc l'exposant tend vers $x$. Par continuité de l'exponentielle : $$\boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=\mathrm{e}^{x}}$$

5. Pour $x=0$, on a $w_{n}=1^{\,n}=1$ pour tout $n$, et $\mathrm{e}^{0}=1$ : $$\boxed{\text{le résultat reste vrai.}}$$

Partie B

6. Il suffit d'appliquer la partie A avec $x=1$ : $$\boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}}$$

7.

On rappelle que $\mathrm{e}\approx 2{,}718\,281\,8$.

8. La convergence est très lente : il faut multiplier $n$ par $10$ pour gagner une seule décimale. $$\boxed{\text{L'algorithme de Briggs est incomparablement plus efficace.}}$$ Celui-ci gagnait environ trois décimales à chaque doublement du nombre d'étapes, et atteignait neuf décimales exactes en trente racines carrées seulement.

Cette formule a donc un grand intérêt théorique — elle explique d'où vient le nombre $\mathrm{e}$ — mais aucun intérêt pratique pour le calculer.

Partie C

9. À chacune des $n$ périodes, le capital est multiplié par $\left(1+\dfrac{0{,}05}{n} \right)$. Au bout d'un an, soit $n$ périodes : $$\boxed{C_{n}=1\,000\left(1+\frac{0{,}05}{n}\right)^{n}}$$

10.

11. D'après la partie A appliquée à $x=0{,}05$ : $$\lim_{n\to+\infty}C_{n}=1\,000\,\mathrm{e}^{0{,}05}\approx\boxed{1\,051{,}27~\text{€}}$$

12. Entre la capitalisation quotidienne et la limite théorique, l'écart est inférieur au centime. $$\boxed{\text{Une capitalisation « à chaque seconde » ne rapporterait rien de plus.}}$$ Interprétation. Le gain apporté par une capitalisation plus fréquente est plafonné : passer de l'annuel au mensuel rapporte $1{,}16$ €, du mensuel au quotidien $0{,}11$ €, et au-delà plus rien du tout. C'est exactement ce que traduit la convergence vers $\mathrm{e}^{0{,}05}$ — et c'est cette observation, faite au XVIIᵉ siècle sur les intérêts composés, qui a mis les mathématiciens sur la piste du nombre $\mathrm{e}$.