Exercice 3

La stricte croissance permet cette fois de conserver le sens de l'inégalité : $\mathrm{e}^{a}<\mathrm{e}^{b}$ équivaut à $a<b$.

a) $\boxed{S=\,]2\,;+\infty[}$

b) $2x-1\leqslant x+3$, donc $\boxed{S=\,]-\infty\,;4]}$

c) $x^{2}<3x \iff x(x-3)<0$, ce qui a lieu entre les racines : $\boxed{S=\,]0\,;3[}$

d) $\mathrm{e}^{x}\geqslant\mathrm{e}^{0}$, donc $\boxed{S=[0\,;+\infty[}$

e) $-x<2x+9 \iff -9<3x$, donc $\boxed{S=\,]-3\,;+\infty[}$

f) Le produit est négatif ou nul lorsque les deux facteurs sont de signes contraires. Or $\mathrm{e}^{x}-1\geqslant 0$ pour $x\geqslant 0$ et $\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}\geqslant 0$ pour $x\geqslant 1$ : $$\boxed{S=[0\,;1]}$$