ExerciceTerminale, chapitre 5 — Fonctions exponentielle et logarithme · Exponentielle : calculs, équations et dérivées

Exercice 4

Calcul

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes, définies sur l'ensemble indiqué.

a) $f(x)=\mathrm{e}^{3x}$ sur $\mathbb{R}$

b) $f(x)=\mathrm{e}^{-2x+1}$ sur $\mathbb{R}$

c) $f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}$ sur $\mathbb{R}$

d) $f(x)=x\,\mathrm{e}^{x}$ sur $\mathbb{R}$

e) $f(x)=x^{2}\mathrm{e}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$

f) $f(x)=(2x+1)\mathrm{e}^{3x}$ sur $\mathbb{R}$

g) $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$ sur $\mathbb{R}^{*}$

h) $f(x)=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ sur $\mathbb{R}^{*}$

i) $f(x)=\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{3}$ sur $\mathbb{R}$

j) $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{x+1}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$

Corrigé

On applique $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\,\mathrm{e}^{u}$ , complétée par les règles du produit et du quotient.

a) $\boxed{f'(x)=3\,\mathrm{e}^{3x}}$

b) $\boxed{f'(x)=-2\,\mathrm{e}^{-2x+1}}$

c) $\boxed{f'(x)=2x\,\mathrm{e}^{x^{2}}}$

d) $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+x\,\mathrm{e}^{x}=\boxed{(x+1)\mathrm{e}^{x}}$

e) $f'(x)=2x\,\mathrm{e}^{-x}-x^{2}\mathrm{e}^{-x}=\boxed{x(2-x)\mathrm{e}^{-x}}$

f) $f'(x)=2\mathrm{e}^{3x}+3(2x+1)\mathrm{e}^{3x}=\boxed{(6x+5)\mathrm{e}^{3x}}$

g) $f'(x)=\dfrac{x\,\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}=\boxed{\dfrac{(x-1)\mathrm{e}^{x}}{x^{2}}}$

h) $u(x)=\dfrac{1}{x}$ donne $u'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}$ , d'où $\boxed{f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}\,\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}$

i) $\boxed{f'(x)=3\,\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}$

j) $f'(x)=\dfrac{2\mathrm{e}^{2x}(x+1)-\mathrm{e}^{2x}}{(x+1)^{2}} =\boxed{\dfrac{(2x+1)\mathrm{e}^{2x}}{(x+1)^{2}}}$

exponentielle, dérivée