Exercice 5

a) $f'(x)=2x\,\mathrm{e}^{x}+\left(x^{2}-3\right)\mathrm{e}^{x}=\left(x^{2}+2x-3\right)\mathrm{e}^{x} =\boxed{(x+3)(x-1)\mathrm{e}^{x}}$

Le facteur $\mathrm{e}^{x}$ étant strictement positif, $f'$ a le signe du trinôme, négatif entre ses racines :

b) $f'(x)=\mathrm{e}^{-x}-(x-2)\mathrm{e}^{-x}=\boxed{(3-x)\mathrm{e}^{-x}}$, du signe de $3-x$ : $f$ est croissante sur $]-\infty\,;3]$, décroissante sur $[3\,;+\infty[$, avec un maximum $f(3)=\mathrm{e}^{-3}$.

c) $f'(x)=\boxed{\mathrm{e}^{x}-1}$, qui s'annule en $0$ et est du signe de $x$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;0]$, croissante sur $[0\,;+\infty[$, avec un minimum $f(0)=1$.

On retrouve l'inégalité $\mathrm{e}^{x}\geqslant x+1$ du cours, puisque $f(x)=\mathrm{e}^{x}-x\geqslant 1$.

d) $f'(x)=(2x-4)\,\mathrm{e}^{x^{2}-4x}=\boxed{2(x-2)\mathrm{e}^{x^{2}-4x}}$, du signe de $x-2$ : $f$ est décroissante sur $]-\infty\,;2]$, croissante sur $[2\,;+\infty[$, avec un minimum $f(2)=\mathrm{e}^{-4}$.