Exercice 6

a) $\boxed{+\infty}$

b) $\boxed{0}$

c) $\boxed{0}$

d) $\boxed{+\infty}$

e) $\boxed{2}$

f) $\boxed{0}$

g) $\boxed{1}$

h) $\boxed{0}$

Détails. Pour f), $-x^{2}\to-\infty$ donc $\mathrm{e}^{-x^{2}}\to 0$. Pour g), $\mathrm{e}^{-x}\to 0$ quand $x\to+\infty$, donc le dénominateur tend vers $1$. Pour h), $\mathrm{e}^{-x}\to+\infty$ quand $x\to-\infty$, donc le dénominateur tend vers $+\infty$ et le quotient vers $0$.

Interprétation graphique. La fonction $x\mapsto\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}$ admet donc deux asymptotes horizontales : $$\boxed{\text{la droite } y=1 \text{ en } +\infty \quad\text{et}\quad \text{la droite } y=0 \text{ en } -\infty.}$$ Cette fonction, appelée fonction logistique, sert de modèle à de nombreux phénomènes de saturation.