Exercice 7

a) Forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$, levée par le théorème 1 avec $n=3$ : $\boxed{+\infty}$

b) $x^{2}\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x}}$, inverse du précédent : $\boxed{0}$

c) Forme indéterminée $0\times\infty$, levée par le théorème 1 avec $n=3$ : $\boxed{0}$

d) $\dfrac{x^{2}+1}{\mathrm{e}^{x}}=\dfrac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x}}+\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}$, somme de deux termes tendant vers $0$ : $\boxed{0}$

e) Forme indéterminée $\infty-\infty$. On factorise par $\mathrm{e}^{x}$ : $$\mathrm{e}^{x}-x^{5}=\mathrm{e}^{x}\left(1-\frac{x^{5}}{\mathrm{e}^{x}}\right)$$ Or $\dfrac{x^{5}}{\mathrm{e}^{x}}\to 0$, donc la parenthèse tend vers $1$ et le produit vers $\boxed{+\infty}$.

f) $x\,\mathrm{e}^{x}\to 0$ par croissances comparées, donc $\boxed{-3}$

g) On pose $X=2x$, qui tend vers $0$ : $$\frac{\mathrm{e}^{2x}-1}{x}=2\times\frac{\mathrm{e}^{X}-1}{X}\longrightarrow 2\times 1=\boxed{2}$$

h) $\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{3x}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}\longrightarrow \boxed{\dfrac{1}{3}}$