Exercice 8

1. On factorise haut et bas par $\mathrm{e}^{x}$ : $$\frac{\mathrm{e}^{x}+x^{2}}{\mathrm{e}^{x}-x} =\frac{\mathrm{e}^{x}\left(1+\frac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x}}\right)}{\mathrm{e}^{x}\left(1-\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}\right)} =\frac{1+\frac{x^{2}}{\mathrm{e}^{x}}}{1-\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}}\longrightarrow\frac{1+0}{1-0}=\boxed{1}$$

2. De même : $$\frac{2\mathrm{e}^{x}-x}{3\mathrm{e}^{x}+1}=\frac{2-\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}}{3+\frac{1}{\mathrm{e}^{x}}} \longrightarrow\frac{2}{3}=\boxed{\dfrac{2}{3}}$$

3. $\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{\mathrm{e}^{x}+1}=\dfrac{\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)} =\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}$. Le numérateur tend vers $+\infty$ et le dénominateur vers $1$ : $\boxed{+\infty}$

4. $x-\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}\left(\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}-1\right)$. La parenthèse tend vers $-1$ et $\mathrm{e}^{x}$ vers $+\infty$ : $\boxed{-\infty}$

5. Ici $\mathrm{e}^{x}\to 0$ quand $x\to-\infty$, il n'y a donc aucune indétermination : $$\frac{\mathrm{e}^{x}+1}{\mathrm{e}^{x}-2}\longrightarrow\frac{0+1}{0-2}=\boxed{-\dfrac{1}{2}}$$