Exercice 9

1. Quand $x\to-\infty$ : $x+1\to-\infty$ et $\mathrm{e}^{-x}\to+\infty$, donc par produit $$\boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}$$

2. On écrit $f(x)=x\,\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}+\mathrm{e}^{-x}$. Par croissances comparées, le premier terme tend vers $0$, et le second aussi : $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=0}$$

3. $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{-x}+(x+1)\times(-\mathrm{e}^{-x})=\mathrm{e}^{-x}\big(1-(x+1)\big) =\boxed{-x\,\mathrm{e}^{-x}}$

4. Le facteur $\mathrm{e}^{-x}$ étant strictement positif, $f'$ a le signe de $-x$ :

5. $f(0)=1$ et $f'(0)=0$, donc la tangente est horizontale : $$\boxed{y=1}$$

6. $f(x)=0$ équivaut à $(x+1)\mathrm{e}^{-x}=0$. Comme $\mathrm{e}^{-x}\neq 0$, il reste $x+1=0$, soit $\boxed{x=-1}$. Le signe de $f$ est alors celui de $x+1$ : $$\boxed{f(x)<0 \text{ sur } ]-\infty\,;-1[ \quad\text{et}\quad f(x)>0 \text{ sur } ]-1\,;+\infty[.}$$