Exercice 34

1. Pour tout réel $x$, $1+\mathrm{e}^{x}>0$ : $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, et $$f'(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}>0$$ La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$. En $-\infty$, $\mathrm{e}^{x}\to 0$, donc $1+\mathrm{e}^{x}\to 1$ et $f(x)\to\ln(1)=0$ : l'axe des abscisses est asymptote en $-\infty$. En $+\infty$, $1+\mathrm{e}^{x}\to+\infty$, donc $f(x)\to+\infty$. On note enfin que $f(0)=\ln(2)$.

2. Comme $x=\ln\left(\mathrm{e}^{x}\right)$, on a, pour tout réel $x$ : $$f(x)-x=\ln\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)-\ln\left(\mathrm{e}^{x}\right)=\ln\left(\frac{1+\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}}\right) =\ln\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)$$ Quand $x\to+\infty$, $\mathrm{e}^{-x}\to 0$, donc $1+\mathrm{e}^{-x}\to 1$ et $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-x\big)=\ln(1)=0}$$ Interprétation. L'écart vertical entre la courbe de $f$ et la droite d'équation $y=x$ tend vers $0$ : cette droite est asymptote oblique à la courbe en $+\infty$. De plus, $1+\mathrm{e}^{-x}>1$ donne $f(x)-x>0$ : la courbe est toujours au-dessus de son asymptote.

Cette figure montre les deux asymptotes : l'axe des abscisses en $-\infty$, et la droite d'équation $y=x$ en $+\infty$, que la courbe approche par au-dessus.

Remarque. Le calcul de la question 2 est un réflexe à retenir : pour comparer $\ln(\text{quelque chose})$ à $x$, on écrit $x=\ln\left(\mathrm{e}^{x}\right)$ et l'on regroupe les deux logarithmes. En $-\infty$, c'est la limite du cours $\frac{\ln(1+t)}{t}\to 1$, appliquée à $t=\mathrm{e}^{x}\to 0$, qui donne $\frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}}\to 1$ : très à gauche, $f(x)$ est « presque égal » à $\mathrm{e}^{x}$, au sens où leur quotient tend vers $1$.