Exercice 38

Dans tout l'exercice, on utilise la limite du cours $\displaystyle\lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}=1$, déjà employée aux exercices 30 et 32, et la continuité de l'exponentielle.

1. On a $f(x)=\mathrm{e}^{\,x\ln\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}$. Posons $t=\dfrac{1}{x^{2}}$, qui tend vers $0$ : $$x\ln\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)=x\times t\times\frac{\ln(1+t)}{t} =\frac{1}{x}\times\frac{\ln(1+t)}{t}\longrightarrow 0\times 1=0$$

$$\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=\mathrm{e}^{0}=1}$$ De même, $g(x)=\mathrm{e}^{\,x^{2}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)}$ et, avec $t=\dfrac{1}{x}\to 0$ : $$x^{2}\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)=x\times\frac{\ln(1+t)}{t}\longrightarrow+\infty$$

$$\boxed{\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty}$$ Remarque. Les deux expressions sont de la forme « $1^{\infty}$ », et leurs limites diffèrent ; l'exercice 32 en fournit une troisième, $\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\to\mathrm{e}^{x}$. C'est la preuve que « $1^{\infty}$ » est une forme indéterminée : l'erreur la plus répandue est de penser qu'une puissance de $1$ vaut toujours $1$, en oubliant que la base n'est pas égale à $1$ mais seulement proche de $1$.

2. $x^{x}=\mathrm{e}^{\,x\ln(x)}$, et $x\ln(x)\to 0$ quand $x\to 0^{+}$ par croissances comparées (cours, et question 7 de l'exercice 23). Par continuité de l'exponentielle : $$\boxed{\lim_{x\to 0^{+}}x^{x}=\mathrm{e}^{0}=1}$$

3. Prenons $u(x)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}$ : elle est à valeurs strictement positives, et $-\frac{1}{x^{2}}\to-\infty$ donne $u(x)\to 0$ quand $x\to 0^{+}$. Mais $$u(x)^{x}=\mathrm{e}^{\,x\times\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}\longrightarrow 0 \qquad\text{quand } x\to 0^{+}$$

4. Prenons $v(x)=-\dfrac{1}{\ln(x)}$ sur $]0\,;1[$ : comme $\ln(x)<0$, elle est à valeurs strictement positives, et $\ln(x)\to-\infty$ donne $v(x)\to 0$. Mais $$x^{v(x)}=\mathrm{e}^{\,v(x)\ln(x)}=\mathrm{e}^{-1}$$ est constant. $$\boxed{v(x)=-\frac{1}{\ln(x)} \text{ convient : } x^{v(x)}=\frac{1}{\mathrm{e}}\neq 1.}$$ Remarque. Les questions 2 à 4 montrent que « $0^{0}$ » est, lui aussi, une forme indéterminée : selon la vitesse à laquelle la base et l'exposant tendent vers $0$, la limite peut valoir $1$, $0$ ou $\frac{1}{\mathrm{e}}$. La convention $0^{0}=1$, commode en algèbre (pour écrire un polynôme $\sum a_{k}x^{k}$ en $x=0$), ne dit donc rien des limites.