Exercice 39

Fixons un entier $n\geqslant 1$. Pour $x\in[0\,;2[$, les nombres $1+\frac{x}{n}$, $2+x$ et $2-x$ sont strictement positifs. La fonction $\ln$ étant strictement croissante, l'inégalité demandée équivaut à $$n\ln\left(1+\frac{x}{n}\right)\leqslant\ln(2+x)-\ln(2-x)$$ Posons donc, pour $x\in[0\,;2[$, $h(x)=\ln(2+x)-\ln(2-x)-n\ln\left(1+\dfrac{x}{n}\right)$. La fonction $h$ est dérivable, et, la dérivée de $x\mapsto\ln(2-x)$ étant $x\mapsto-\dfrac{1}{2-x}$ : $$h'(x)=\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2-x}-\frac{n\times\frac{1}{n}}{1+\frac{x}{n}} =\frac{4}{4-x^{2}}-\frac{n}{n+x} =\frac{4(n+x)-n\left(4-x^{2}\right)}{\left(4-x^{2}\right)(n+x)} =\frac{x\,(nx+4)}{\left(4-x^{2}\right)(n+x)}$$ Sur $[0\,;2[$, tous les facteurs sont positifs : $h'(x)\geqslant 0$, donc $h$ est croissante, et $h(x)\geqslant h(0)=\ln(2)-\ln(2)-0=0$. $$\boxed{\text{Pour tout } n\geqslant 1 \text{ et tout } x\in[0\,;2[,\quad \left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}\leqslant\frac{2+x}{2-x}}$$

Remarque. D'après l'exercice 32, le membre de gauche tend vers $\mathrm{e}^{x}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. Le passage à la limite dans les inégalités donne alors $\mathrm{e}^{x}\leqslant\dfrac{2+x}{2-x}$ sur $[0\,;2[$. Cette fraction rationnelle est une approximation remarquable de l'exponentielle près de $0$ : pour $x=0{,}1$, elle vaut $1{,}105\,26$, alors que $\mathrm{e}^{0{,}1}\approx 1{,}105\,17$.