Exercice 40

1. L'inégalité utilisée. Le cours donne $\mathrm{e}^{u}\geqslant 1+u$ pour tout réel $u$, avec égalité seulement pour $u=0$ : la fonction $u\mapsto\mathrm{e}^{u}-u$, étudiée à la question c) de l'exercice 5, admet en $0$ un minimum strict égal à $1$. Avec $u=t-1$, on obtient $t\leqslant\mathrm{e}^{\,t-1}$, avec égalité si et seulement si $t=1$.

La démonstration. Notons $S=x_1+\dots+x_n$, $P=x_1x_2\cdots x_n$ et $m=\dfrac{S}{n}>0$. Pour chaque $i$, l'inégalité précédente appliquée à $t=\dfrac{x_i}{m}$ donne $$0<\frac{x_i}{m}\leqslant\mathrm{e}^{\frac{x_i}{m}-1}$$ On peut multiplier membre à membre ces $n$ inégalités entre nombres strictement positifs : $$\frac{P}{m^{n}}\leqslant\mathrm{e}^{\left(\frac{x_1}{m}-1\right)+\dots+\left(\frac{x_n}{m}-1\right)} =\mathrm{e}^{\frac{S}{m}-n}=\mathrm{e}^{0}=1$$ Donc $P\leqslant m^{n}$. La fonction $x\mapsto x^{\frac{1}{n}}$ étant croissante sur $]0\,;+\infty[$ (exercice 31, avec un exposant positif), et $\left(m^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=m$ (exercice 31, question 6) : $$\boxed{\left(x_1x_2\cdots x_n\right)^{\frac{1}{n}}\leqslant\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}}$$

Le cas d'égalité. Si les $x_i$ sont tous égaux à un même réel $a$, les deux membres valent $a$. Réciproquement, si l'un des $x_i$ est différent de $m$, l'inégalité correspondante est stricte, et le produit d'inégalités entre nombres strictement positifs dont l'une est stricte est strict : on obtient $P<m^{n}$, et l'inégalité est stricte. Il y a donc égalité si et seulement si tous les $x_i$ valent $m$, c'est-à-dire sont tous égaux.

Remarque. Le nom vient de ce que $\frac{x_1+\dots+x_n}{n}$ est la moyenne arithmétique des $x_i$, et $\left(x_1\cdots x_n\right)^{1/n}$ leur moyenne géométrique. Le cas $n=2$ s'écrit $\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}$ et se démontre en développant $\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^{2}\geqslant 0$ ; pour $n$ quelconque, c'est l'exponentielle qui fournit l'argument.

2. (a) Le volume vaut $\boxed{V=abc}$. Les six faces sont deux à deux identiques, d'aires $ab$, $bc$ et $ca$ : $$\boxed{S=2(ab+bc+ca)}$$

(b) On applique la question 1 avec $n=3$ aux nombres $ab$, $bc$ et $ca$, dont le produit vaut $(abc)^{2}=V^{2}$ : $$\frac{ab+bc+ca}{3}\geqslant\left(V^{2}\right)^{\frac{1}{3}}=V^{\frac{2}{3}}$$ Il y a égalité si et seulement si $ab=bc=ca$. Comme $a$, $b$, $c$ sont non nuls, $ab=bc$ donne $a=c$, et $bc=ca$ donne $b=a$. $$\boxed{\text{Égalité si et seulement si } a=b=c \text{ : le parallélépipède est un cube.}}$$

(c) D'après b), $\dfrac{S}{6}\geqslant V^{\frac{2}{3}}$, donc, en élevant à la puissance $\frac{3}{2}$ (fonction croissante), $V\leqslant\left(\dfrac{S}{6}\right)^{\frac{3}{2}}$. Cette valeur est atteinte par le cube d'arête $\sqrt{\frac{S}{6}}$, dont l'aire totale est bien $6\times\frac{S}{6}=S$, et par lui seul d'après le cas d'égalité. $$\boxed{V_{\max}=\left(\frac{S}{6}\right)^{\frac{3}{2}}, \text{ atteint uniquement pour le cube.}}$$ Vérification : pour $S=24$, le cube d'arête $2$ a pour volume $8=4^{3/2}$, tandis que le parallélépipède de dimensions $1$, $2$ et $\frac{10}{3}$, de même aire $2\left(2+\frac{20}{3}+\frac{10}{3}\right)=24$, n'a pour volume que $\frac{20}{3}\approx 6{,}67$.