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CCINP PC 2012 — Mathématiques

Diagonalisabilité d'un couple de matrices · 6 pages

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Le sujet étudie les valeurs propres d'un couple $(A, B)$ , racines de $\chi_{(A,B)}(\lambda) = \det(A - \lambda B)$ , et la diagonalisabilité d'un couple, c'est-à-dire l'existence de $P, Q$ inversibles et $D, D'$ diagonales avec $A = PDQ$ et $B = PD'Q$ . Après un exemple en dimension 3, il relie le degré de $\chi_{(A,B)}$ à l'inversibilité de $B$ , montre qu'un couple de matrices symétriques réelles avec $B$ définie positive (ou un couple régulier de symétriques positives) est diagonalisable, établit un critère par les dimensions des sous-espaces propres, valeur propre infinie comprise, et donne un couple non diagonalisable en dimension 4.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Diagonalisabilité dans un cas particulier p. 1–2

Diagonalisation · Déterminants · Calcul matriciel — valeurs propres d'un couple de matrices, faisceau de matrices, problème aux valeurs propres généralisé, matrice de passage

Partie II — Régularité et diagonalisabilité p. 3

Déterminants · Diagonalisation · Racines et relations coefficients-racines · Calcul matriciel — couple régulier, polynôme $\det(A - \lambda B)$ , multiplicité d'une racine, couples équivalents, degré du polynôme caractéristique

Partie III — Diagonalisabilité dans le cas symétrique p. 4

Théorème spectral · Matrices symétriques positives · Espaces préhilbertiens et euclidiens — diagonalisation simultanée, matrice définie positive, factorisation $B = {}^t\!LL$ , produit scalaire associé à une matrice, base orthonormale de vecteurs propres

Partie IV — Un critère de diagonalisabilité p. 5

Diagonalisation · Racines et relations coefficients-racines — critère de diagonalisabilité, dimension des sous-espaces propres, ordre de multiplicité, valeur propre infinie

Partie V — Exemple de non-diagonalisabilité p. 6

Déterminants · Nilpotents, Jordan, Dunford · Matrices remarquables — matrice de décalage, déterminant tridiagonal, relation de récurrence sur les déterminants, couple non diagonalisable

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Anneaux de polynômes Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz