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CCINP PSI 2014 — Maths 2

Polynômes de Legendre, racines et entrelacement des valeurs propres · 4 pages

Le sujet étudie l'endomorphisme $P \mapsto (X^2-1)P'' + 2XP'$ de $\mathbb{R}[X]$ , autoadjoint pour le produit scalaire intégral sur $[-1, 1]$ , dont les vecteurs propres unitaires forment une famille de polynômes orthogonaux (les polynômes de Legendre). Il établit la relation de récurrence à trois termes et montre que $P_n$ a $n$ racines simples dans $\left]-1, 1\right[$ , puis, via une matrice tridiagonale symétrique et la caractérisation min-max de Courant-Fischer, que les racines de $P_{n-1}$ et de $P_n$ s'entrelacent.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Étude d'un endomorphisme p. 2

Polynômes de Legendre · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Diagonalisation · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Polynômes — endomorphisme autoadjoint, produit scalaire intégral, vecteurs propres, polynômes orthogonaux, opérateur différentiel, base de vecteurs propres

Partie II — Étude des racines de ces polynômes p. 3

Polynômes de Legendre · Racines et relations coefficients-racines · Espaces préhilbertiens et euclidiens — relation de récurrence à trois termes, racines simples, racine d'ordre impair, polynômes orthogonaux, raisonnement par l'absurde

Partie III — Étude d'une matrice p. 3–4

Entrelacement et inégalités spectrales · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Déterminants · Théorème spectral · Polynômes de Legendre · Racines et relations coefficients-racines · Matrices remarquables — matrice tridiagonale, polynôme caractéristique, Courant-Fischer, quotient de Rayleigh, entrelacement des valeurs propres, entrelacement des racines

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes Espaces de Hilbert et théorème de projection Matrices d'une application linéaire Théorème de représentation de Riesz Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées