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Mines-Ponts MP 2011 — Maths 1

Critère de diagonalisation de Klarès · 4 pages

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Le problème établit la décomposition de Dunford d'une matrice complexe $A$ à partir des sous-espaces caractéristiques, puis montre que $A$ est diagonalisable si et seulement si l'endomorphisme $\operatorname{comm}_A : X \mapsto AX - XA$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ l'est, en décrivant la décomposition de Dunford de $\operatorname{comm}_A$ . Après une étude de l'orthogonal relativement à une forme bilinéaire symétrique non dégénérée, il démontre le critère de Klarès : $A$ est diagonalisable si et seulement si $\operatorname{Ker}(\operatorname{comm}_A) = \operatorname{Ker}(\operatorname{comm}_A^2)$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie A — Décomposition de Dunford p. 2–3

Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes d'endomorphismes · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Matrices par blocs · Diagonalisation · Sous-espaces stables — décomposition de Dunford, sous-espaces caractéristiques, lemme des noyaux, matrice nilpotente, polynôme annulateur

Partie B — Commutation et conjugaison p. 3

Diagonalisation · Nilpotents, Jordan, Dunford · Calcul matriciel — endomorphisme $X \mapsto AX - XA$ , crochet de matrices, matrices élémentaires, conjugaison, décomposition de Dunford

Partie C — Formes bilinéaires sur un espace vectoriel complexe p. 4

Formes bilinéaires et quadratiques · Dualité · Applications linéaires et rang — forme bilinéaire symétrique non dégénérée, orthogonal relativement à une forme bilinéaire, base antéduale, noyau et image

Partie D — Critère de Klarès p. 4

Diagonalisation · Formes bilinéaires et quadratiques · Calcul matriciel · Nilpotents, Jordan, Dunford — critère de Klarès, forme trace, $\operatorname{tr}(XY)$ , noyau de $\operatorname{comm}_A$ , orthogonal de l'image, décomposition de Dunford

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Déterminant d'un endomorphisme Espace dual Théorème du rang