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Mines-Ponts PC 2014 — Maths 1
Le sujet caractérise les endomorphismes d'un espace réel de dimension finie qui sont sommes finies de projecteurs : ce sont exactement ceux dont la trace est un entier naturel supérieur ou égal au rang. La preuve passe par l'égalité entre rang et trace d'un projecteur, puis par le fait qu'un endomorphisme qui n'est pas une homothétie admet, dans une base convenable, une diagonale prescrite de somme égale à sa trace.
Le sujet, partie par partie
Notations et Partie 1 — Traces et projecteurs p. 2–3
Projecteurs et trace · Calcul matriciel · Espaces vectoriels et dimension — projecteur, trace, invariant de similitude, rang d'un projecteur, somme directe noyau image, formule de Grassmann
Partie 2 — Projecteurs de rang 1 p. 3
Projecteurs et trace · Matrices par blocs · Calcul matriciel — projecteur de rang 1, base adaptée, matrice par blocs, homothétie
Partie 3 — Endomorphismes différents d'une homothétie p. 3–4
Calcul matriciel · Applications linéaires et rang · Matrices par blocs · Projecteurs et trace — matrice de trace nulle, diagonale nulle, diagonale prescrite, récurrence sur la dimension, homothétie, vecteur non propre
Partie 4 — Décomposition en somme de projecteurs p. 4–5
Projecteurs et trace · Matrices par blocs · Calcul matriciel — somme de projecteurs, trace entière, rang et trace, matrice par blocs, projecteur