AnnalesÉcoles d'ingénieurs

Mines-Ponts PSI 2023 — Maths 1

Quelques inégalités de convexité autour du déterminant · 6 pages

PDF hébergé hors du site officiel — source : archive officielle (ZIP)

Le sujet établit des inégalités de convexité sur les matrices symétriques positives : caractérisation spectrale et racine carrée, inégalité $\operatorname{Tr}(M)/n \geqslant \det^{1/n}(M)$ et une version quantitative, inégalité $\det^{1/n}(A+B) \geqslant \det^{1/n}(A) + \det^{1/n}(B)$ et log-concavité du déterminant, puis $\ln \det(I+tA) \leqslant t \operatorname{Tr}(A)$ . Il termine par les développements limités de $\det(A+tM)$ et de $(A+tM)^{-1}$ pour étudier la convexité de $t \mapsto \det^{-\alpha}(A+tM)/\alpha$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie 1 — Questions préliminaires p. 2–3

Matrices symétriques positives · Inégalité de Jensen · Ensembles convexes · Théorème spectral — caractérisation spectrale des matrices positives, racine carrée d'une matrice symétrique positive, inégalité de Jensen discrète, parties convexes

Partie 2 — Une première inégalité de convexité p. 3–4

Inégalité arithmético-géométrique · Matrices symétriques positives · Fonctions convexes — inégalité trace-déterminant, norme de Frobenius, concavité du logarithme

Partie 3 — On continue avec de la convexité p. 4–5

Matrices symétriques positives · Fonctions convexes · Déterminants — réduction simultanée, inégalité de Minkowski pour le déterminant, log-concavité du déterminant

Partie 4 — Encore de la convexité p. 5

Déterminants · Matrices symétriques positives · Inégalités classiques — inégalité $\ln \det(I+tA) \leqslant t \operatorname{Tr} A$ , valeurs propres positives

Partie 5 — Et pour finir... de la convexité p. 5–6

Développements limités · Déterminants · Fonctions convexes · Dérivabilité · Matrices symétriques positives — dérivée du déterminant, développement de l'inverse d'une matrice, dérivée seconde

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Dérivabilité Théorème de Hahn-Banach Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Espaces vectoriels normés et espaces de Banach