Convergence vers l'équilibre par couplage

(i) Le couplage. Fixons $n$. Sur l'ensemble fini $\Omega = I^{n+1} \times I^{n+1}$, muni de toutes ses parties, soit $P$ la probabilité de poids $$\begin{aligned} &p(x_0, \dots, x_n;\ y_0, \dots, y_n) \\ &= \mu(x_0)Q(x_0, x_1)\cdots Q(x_{n-1}, x_n) \\ &\quad \cdot \nu(y_0)Q(y_0, y_1)\cdots Q(y_{n-1}, y_n), \end{aligned}$$ produit des poids de deux chaînes à horizon fini (Existence, (ii)). En sommant sur l'autre composante, les coordonnées $X_k$ forment une chaîne $(\mu, Q)$ jusqu'à l'instant $n$, et les $Y_k$ une chaîne $(\nu, Q)$ ; donc $P(X_n = y) = (\mu Q^n)(y)$ et $P(Y_n = y) = (\nu Q^n)(y)$ (Chaînes de Markov, (ii)). Soit $T = \min\{k \leqslant n : X_k = Y_k\}$, et $T = +\infty$ s'il n'y en a pas.

Après la rencontre. Pour $t \leqslant n$ et $z, y \in I$, l'événement $\{T = t, X_t = Y_t = z\}$ ne porte que sur les coordonnées d'indices $\leqslant t$. En sommant les poids sur les coordonnées d'indices $> t$, sauf $x_n = y$, le facteur de la première chaîne donne $Q^{n-t}(z, y)$ par la formule des chemins, celui de la seconde donne $1$, d'où $$\begin{aligned} &P(T = t,\ X_t = z,\ X_n = y) \\ &= P(T = t,\ X_t = z)\,Q^{n-t}(z, y), \end{aligned}$$ et la même formule pour $Y$, par symétrie. En sommant sur $t \leqslant n$ et $z$, $P(X_n = y,\ T \leqslant n) = P(Y_n = y,\ T \leqslant n)$, puis $$\begin{aligned} &\sum_y\big|(\mu Q^n)(y) - (\nu Q^n)(y)\big| \\ &= \sum_y\big|P(X_n = y,\ T > n) \\ &\qquad - P(Y_n = y,\ T > n)\big| \\ &\leqslant 2P(T > n). \end{aligned}$$

La rencontre. Soit $j$ tel que $(j + 1)N \leqslant n$. Par le même calcul, appliqué à l'instant $jN$ et aux événements $\{T > jN, X_{jN} = a, Y_{jN} = b\}$, avec $a \neq b$, la probabilité que les deux chaînes soient au même point à l'instant $(j + 1)N$ sachant cet événement est $$\begin{aligned} \sum_{z \in I}Q^N(a, z)\,Q^N(b, z) &\geqslant \delta\sum_z Q^N(b, z) \\ &= \delta. \end{aligned}$$ Comme $\{T > (j + 1)N\}$ est contenu dans $\{T > jN\} \cap \{X_{(j+1)N} \neq Y_{(j+1)N}\}$, en sommant sur les couples $(a, b)$ on obtient $P(T > (j + 1)N) \leqslant (1 - \delta)\,P(T > jN)$, et, par récurrence, $P(T > n) \leqslant P(T > jN) \leqslant (1 - \delta)^j$ pour $j = \lfloor n/N\rfloor$.

(ii) Existence. Soit $\mu$ une probabilité. Appliqué à $\nu = \mu Q^k$, pour $k \in \mathbb N$, le point (i) donne $|(\mu Q^n)(y) - (\mu Q^{n+k})(y)| \leqslant 2(1 - \delta)^{\lfloor n/N\rfloor}$ : pour chaque $y$, la suite $((\mu Q^n)(y))_n$ est de Cauchy, donc converge vers un réel $\pi(y)$ (Complétude). Les sommes sur $I$ étant finies, $\pi$ est une probabilité, et $$\pi Q = \lim_n\,(\mu Q^n)Q = \lim_n \mu Q^{n+1} = \pi.$$

Unicité et vitesse. Pour une probabilité invariante $\pi'$, $\pi'Q^n = \pi'$, et (i), appliqué à $\mu$ et à $\nu = \pi'$, donne l'inégalité annoncée avec $\pi'$ ; en la prenant pour $\mu = \pi$, invariante, son premier membre vaut $\sum_y|\pi(y) - \pi'(y)|$ pour tout $n$, et tend vers $0$ : $\pi = \pi'$.