Classes de communication, irréductibilité et période

(i) La relation est réflexive, puisque $Q^0(x, x) = 1$, symétrique par définition, et transitive par l'inégalité $Q^{m+n}(x, z) \geqslant Q^m(x, y)\,Q^n(y, z)$ (Matrices de transition, (iii)).

(ii) Si $I = \{x\}$, alors $Q(x, x) = 1$ et $1 \in R(x)$. Sinon, soit $y \neq x$ ; il existe $a, b \geqslant 1$ tels que $Q^a(x, y) > 0$ et $Q^b(y, x) > 0$, et $Q^{a+b}(x, x) \geqslant Q^a(x, y)Q^b(y, x) > 0$ : $a + b \in R(x)$, et de même $a + b \in R(y)$.

Pour $n \in R(y)$, on a de même $$\begin{aligned} &Q^{a+n+b}(x, x) \\ &\geqslant Q^a(x, y)Q^n(y, y)Q^b(y, x) > 0, \end{aligned}$$ donc $a + n + b \in R(x)$. L'entier $d(x)$ divise $a + b$ et $a + n + b$, donc $n$ : il divise tout élément de $R(y)$, donc tout élément du sous-groupe $d(y)\mathbb Z$ qu'ils engendrent, et $d(x) \mid d(y)$. Par symétrie, $d(y) \mid d(x)$, et ces entiers positifs sont égaux.

(iii) $R(x)$ est stable par addition, puisque $Q^{m+n}(x, x) \geqslant Q^m(x, x)Q^n(x, x)$. Comme $1$ appartient au sous-groupe engendré, écrivons $1 = a_1s_1 + \cdots + a_rs_r$ avec $s_i \in R(x)$, et séparons les coefficients positifs et négatifs : $1 = A - B$, où $A$ et $B$ sont des sommes, éventuellement vides, d'éléments de $R(x)$.

Si $B = 0$, alors $1 = A \in R(x)$, et tout $n \geqslant 1$ est dans $R(x)$. Sinon, $B$ et $B + 1 = A$ sont dans $R(x)$. Pour $n \geqslant B^2$, la division euclidienne donne $n = qB + r$ avec $0 \leqslant r < B \leqslant q$, et $$n = (q - r)B + r(B + 1)$$ est une somme d'éléments de $R(x)$, puisque $q - r \geqslant 1$. On prend $N = B^2$.

Si $I$ est fini et $Q$ irréductible et apériodique, chaque $x$ a un tel $N_x$, et pour tous $x, y$ il existe $a_{xy}$ tel que $Q^{a_{xy}}(x, y) > 0$. Pour $n \geqslant N_x + a_{xy}$, $$Q^n(x, y) \geqslant Q^{n - a_{xy}}(x, x)\,Q^{a_{xy}}(x, y) > 0,$$ et l'on prend pour $N$ le plus grand des entiers $N_x + a_{xy}$, en nombre fini.