Exercice 16

1. On écrit $f(x)=x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1$. Sur $I=\;]-\infty\,;2]$, la fonction est strictement décroissante, avec $f(2)=-1$ et $f(x) \to +\infty$ quand $x \to -\infty$ : $$\boxed{J=[-1\,;+\infty[}$$ Soit $y \in J$. L'équation $(x-2)^{2}-1=y$ équivaut à $(x-2)^{2}=y+1$, avec $y+1 \geqslant 0$, donc à $x-2=\pm\sqrt{y+1}$. La contrainte $x \leqslant 2$ impose $x=2-\sqrt{y+1}$ : chaque $y$ de $J$ a donc un unique antécédent dans $I$. $$\boxed{f \text{ réalise une bijection de } I \text{ sur } J, \text{ et } f^{-1}(y)=2-\sqrt{y+1}}$$

2. On écrit $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}=2-\dfrac{5}{x+2}$. Sur $I=\;]-2\,;+\infty[$, le dénominateur $x+2$ est strictement positif et croissant, donc $f$ est strictement croissante, avec $f(x) \to -\infty$ quand $x \to -2^{+}$ et $f(x) \to 2^{-}$ quand $x \to +\infty$ : $$\boxed{J=\;]-\infty\,;2[}$$ Soit $y \in J$. On résout : $$y=2-\frac{5}{x+2} \iff \frac{5}{x+2}=2-y \iff x+2=\frac{5}{2-y} \iff x=\frac{5}{2-y}-2=\frac{2y+1}{2-y}$$ Ce réel est bien strictement supérieur à $-2$ puisque $\dfrac{5}{2-y}>0$. $$\boxed{f \text{ réalise une bijection de } I \text{ sur } J, \text{ et } f^{-1}(y)=\dfrac{2y+1}{2-y}}$$

3. Sur $I=\left[-\dfrac{3}{2}\,;+\infty\right[$, la quantité $2x+3$ est positive et croissante, donc $f$ est strictement croissante, avec $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-1$ et $f(x) \to +\infty$ : $$\boxed{J=[-1\,;+\infty[}$$ Soit $y \in J$. Comme $y+1 \geqslant 0$ : $$y=\sqrt{2x+3}-1 \iff \sqrt{2x+3}=y+1 \iff 2x+3=(y+1)^{2} \iff x=\frac{(y+1)^{2}-3}{2}$$

Piège : l'équivalence $\sqrt{u}=v \iff u=v^{2}$ n'est correcte que sous la condition $v \geqslant 0$, ici assurée par $y \in [-1\,;+\infty[$.