Exercice 15

1. Injectivité. Si $3x-5=3x'-5$, alors $3x=3x'$ puis $x=x'$.

Surjectivité. Soit $y \in \mathbb{R}$. Posons $x=\dfrac{y+5}{3}$, qui est un réel, et $f(x)=3 \times \dfrac{y+5}{3}-5=y$. $$\boxed{f \text{ est bijective, et } f^{-1}(y)=\dfrac{y+5}{3}}$$ Vérification : $f^{-1}\big(f(x)\big)=\dfrac{(3x-5)+5}{3}=x$ ✓

2. La fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb{R}$, donc injective, et tout réel $y$ admet $y^{1/3}$ pour antécédent. $$\boxed{g \text{ est bijective, et } g^{-1}(y)=y^{1/3}}$$ Vérification : $g^{-1}\big(g(x)\big)=\big(x^{3}\big)^{1/3}=x$ ✓

3. Vérifions d'abord que $h$ est bien à valeurs dans $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Si $\dfrac{x+1}{x-2}=1$, alors $x+1=x-2$, ce qui est absurde.

Injectivité. Soient $x$ et $x'$ dans $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ tels que $h(x)=h(x')$ : $$\frac{x+1}{x-2}=\frac{x'+1}{x'-2} \iff (x+1)(x'-2)=(x'+1)(x-2) \iff -2x+x'=-2x'+x \iff x=x'$$

Surjectivité. Soit $y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Posons $x=\dfrac{2y+1}{y-1}$, bien défini car $y \neq 1$. Ce réel est différent de $2$ : sinon $2y+1=2y-2$, ce qui est absurde. Et l'on vérifie que $h(x)=y$. $$\boxed{h \text{ est bijective, et } h^{-1}(y)=\dfrac{2y+1}{y-1}}$$