Feuille d'exercicesMaths approfondies, chapitre 2

Applications

25 exercices corrigés · 8 13 3

Généralités

Exercice 1 1. Les quatre diagrammes sagittaux ci-dessous définissent-ils une application de E dans F ? Justifier. 2. Même question pour les correspondances…
Exercice 2 Dans chacun des cas suivants, dire si les deux applications f et g sont égales. Justifier en examinant les trois composantes d'une application. 1.…
Exercice 3 On pose E=1; 2; 3 et F=a; b. 1. Combien y a-t-il d'applications de E dans F ? Les décrire toutes, par exemple en donnant le triplet…

Exercice 4 Dans chacun des cas suivants, f et g sont des applications de ℝ dans ℝ. Déterminer g ∘ f et f ∘ g, puis conclure. 1. f(x)=2x+1 et g(x)=x^2 2.…
Exercice 5 Soient f, g et h les applications de ℝ dans ℝ définies par f(x)=x+1, g(x)=2x et h(x)=x^2. 1. Calculer g ∘ f, puis h ∘ (g ∘ f). 2. Calculer h ∘ g,…
Exercice 6 Une application f: E → E est dite involutive lorsque f ∘ f = Id_E. Montrer que les applications suivantes le sont. 1. begin array{r|ccl} f: & ℝ &…

Exercice 7 Chacun des quatre diagrammes ci-dessous définit une application de E dans F. Pour chacune, dire si elle est injective, surjective, bijective, ou…
Exercice 8 Les applications suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ? On rédigera en suivant les deux schémas donnés dans le cours. 1. begin…
Exercice 9 On considère l'application: begin array{r|ccl} f: & ℝ^2 & longrightarrow & ℝ^2 & (x;y) & longmapsto & (x+y; x+2y) end array 1. L'application f…
Exercice 10 On note Pair l'ensemble des entiers naturels pairs. Démontrer que l'application: begin array{r|ccl} φ: & ℕ & longrightarrow & Pair & n & longmapsto…
Exercice 11 On considère les cinq applications suivantes, qui se calculent toutes de la même façon. 1. begin array{r|ccl} f_1: & ℝ & longrightarrow & ℝ & x &…
Exercice 12 Soient E, F et G trois ensembles, ainsi que deux applications f: E → F et g: F → G. 1. Démontrer que si g ∘ f est injective, alors f est injective.…

Exercice 13 Soit φ la fonction définie sur [-2;2] par φ(x)=x^3-3x, dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. Trois droites horizontales y ont été…
Exercice 14 Pour chacune des expressions suivantes, proposer un ensemble de départ E et un ensemble d'arrivée F, aussi grands que possible, rendant…

Exercice 15 Démontrer que chacune des applications suivantes est bijective, puis déterminer sa bijection réciproque. On vérifiera à chaque fois que f^(-1) ∘ f =…
Exercice 16 Dans chacun des cas suivants, déterminer J=f(I), montrer que f réalise une bijection de I sur J, puis préciser f^(-1). 1. f(x)=x^2-4x+3 et I= ]-∞;2]…
Exercice 17 Soient f: E → F et g: F → G deux applications bijectives. 1. Justifier que g ∘ f est bijective. On pourra utiliser l'exercice 12. 2. Démontrer que…
Exercice 18 On reprend les quatre applications involutives de l'exercice 6. 1. Démontrer qu'une application involutive f: E → E est nécessairement bijective. 2.…

Exercice 19 A. On considère begin array{r|ccl} f: & ℝ & longrightarrow & ℝ & x & longmapsto & 2x-1 end array. Déterminer: 1. f ([0;3]) 2. f^(-1) ([1;7]) 3.…
Exercice 20 Soit begin array{r|ccl} f: & ℝ & longrightarrow & ℝ & x & longmapsto & sin (x) end array. Déterminer les ensembles suivants, après avoir vérifié…
Exercice 21 Soit f: E → F une application, A_1 et A_2 deux parties de E, B_1 et B_2 deux parties de F. Démontrer les propriétés suivantes. 1. B_1 ⊂ B_2…
Exercice 22 Les propriétés 6 et 7 de l'exercice 21 sont des inclusions, et non des égalités. Cet exercice cherche à quelle condition ce sont des égalités. Soit…

Exercice 23 · Vrai ou faux Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Dans tout l'exercice, f désigne une application de E dans F. 1.…
Exercice 24 On considère l'application: begin array{r|ccl} f: & ℝ setminus -1 & longrightarrow & ℝ & x & longmapsto & (x-1)/(x+1) end array 1. Démontrer que f…
Exercice 25 Soit E un ensemble. Pour toute partie A de E, on appelle fonction indicatrice de A l'application: begin array{r|ccl} 1_A: & E & longrightarrow & 0;…