Exercice 10

Injectivité. Soit $(n\,;n') \in \mathbb{N}^{2}$ tel que $\varphi(n)=\varphi(n')$, c'est-à-dire $2n=2n'$. En divisant par $2$, on obtient $n=n'$.

Surjectivité. Soit $p \in \mathcal{P}air$. Par définition, $p$ est un entier naturel pair : il existe donc $k \in \mathbb{N}$ tel que $p=2k$. Alors $k \in \mathbb{N}$ et $\varphi(k)=p$. $$\boxed{\varphi \text{ est bijective, et } \varphi^{-1}(p)=\dfrac{p}{2}.}$$

Commentaire. L'inclusion $\mathcal{P}air \subset \mathbb{N}$ est stricte, puisque $1 \notin \mathcal{P}air$, et pourtant les deux ensembles sont en bijection. C'est impossible pour un ensemble fini : une partie stricte d'un ensemble fini a toujours strictement moins d'éléments. Cette propriété caractérise en fait les ensembles infinis.

Piège : si l'on avait pris pour $\mathcal{P}air$ l'ensemble des entiers relatifs pairs, $\varphi$ n'aurait plus été surjective, l'entier $-2$ n'ayant pas d'antécédent dans $\mathbb{N}$.