Exercice 9

1. Soient $(x\,;y)$ et $(x'\,;y')$ deux éléments de $\mathbb{R}^{2}$ tels que $f(x\,;y)=f(x'\,;y')$, c'est-à-dire : $$\left\{\begin{array}{l} x+y=x'+y' \\ x+2y=x'+2y' \end{array}\right.$$ En soustrayant la première ligne à la seconde, il vient $y=y'$, puis la première donne $x=x'$. Donc $(x\,;y)=(x'\,;y')$ : $$\boxed{f \text{ est injective.}}$$

2. Soit $(a\,;b) \in \mathbb{R}^{2}$. Posons $y=b-a$ et $x=2a-b$, qui sont bien des réels. Alors : $$x+y=(2a-b)+(b-a)=a \qquad\text{et}\qquad x+2y=(2a-b)+2(b-a)=b$$ donc $f(x\,;y)=(a\,;b)$. $$\boxed{f \text{ est surjective.}}$$

3. On conclut : $$\boxed{f \text{ est bijective, et } f^{-1}(a\,;b)=(2a-b \,;\, b-a).}$$