Exercice 8

1. L'application $f : x \mapsto x^{2}$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ vérifie $f(-1)=f(1)=1$, et le réel $-1$ n'a pas d'antécédent puisqu'un carré est positif. $$\boxed{f \text{ n'est ni injective, ni surjective.}}$$

2. Injectivité. Soit $(x\,;x') \in \mathbb{R}^{2}$ tel que $x^{3}=x'^{3}$. La fonction cube étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$, elle est injective : $x \neq x'$ entraînerait $x^{3} \neq x'^{3}$. Donc $x=x'$.

Surjectivité. Soit $y \in \mathbb{R}$. Posons $x=y^{1/3}$, qui est bien un réel. Alors $g(x)=y$. $$\boxed{g \text{ est bijective, de bijection réciproque } y \mapsto y^{1/3}.}$$

3. On a $\cos(0)=\cos(2\pi)=1$, et le réel $2$ n'a pas d'antécédent puisque $|\cos| \leqslant 1$. $$\boxed{h \text{ n'est ni injective, ni surjective.}}$$

4. Injectivité. Soit $(x\,;x') \in \mathbb{R}_{+}^{2}$ tel que $u(x)=u(x')$ : $$\frac{x^{2}}{x^{2}+1}=\frac{x'^{2}}{x'^{2}+1} \iff x^{2}\big(x'^{2}+1\big)=x'^{2}\big(x^{2}+1\big) \iff x^{2}=x'^{2}$$ Comme $x$ et $x'$ sont positifs, il vient $x=x'$.

Surjectivité. Soit $y \in [0\,;1[$. Alors $1-y>0$, et l'on peut poser : $$x=\sqrt{\frac{y}{1-y}}$$ qui est bien un élément de $\mathbb{R}_{+}$. On a $x^{2}=\dfrac{y}{1-y}$, d'où : $$u(x)=\frac{\frac{y}{1-y}}{\frac{y}{1-y}+1}=\frac{\frac{y}{1-y}}{\frac{y+1-y}{1-y}}=y$$

5. L'application $v$ associe à une fonction sa valeur en $0$. Les fonctions $\varphi_{1} : x \mapsto 0$ et $\varphi_{2} : x \mapsto x$ sont distinctes et vérifient $\varphi_{1}(0)=\varphi_{2}(0)=0$. En revanche, pour tout $y \in \mathbb{R}$, la fonction constante égale à $y$ a pour image $y$. $$\boxed{v \text{ est surjective, non injective.}}$$

6. Les fonctions $\varphi_{1} : t \mapsto 0$ et $\varphi_{2} : t \mapsto t-\dfrac{1}{2}$ sont continues sur $[0\,;1]$, distinctes, et d'intégrales toutes deux nulles. En revanche, pour tout $y \in \mathbb{R}$, la fonction constante égale à $y$ a pour intégrale $y$. $$\boxed{w \text{ est surjective, non injective.}}$$ On remarque que les questions 5 et 6 se traitent exactement de la même façon : dans les deux cas, l'application « oublie » presque toute l'information contenue dans $\varphi$.