ExerciceMaths approfondies, chapitre 2 — Applications · Injectivité, surjectivité, bijectivité

Exercice 11

Calcul

On considère les cinq applications suivantes, qui se calculent toutes de la même façon.

1. $\begin{array}{r|ccl} f_{1} : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & x^{2} \end{array}$

2. $\begin{array}{r|ccl} f_{2} : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R}_{+} \\ & x & \longmapsto & x^{2} \end{array}$

3. $\begin{array}{r|ccl} f_{3} : & \mathbb{R}_{+} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & x^{2} \end{array}$

4. $\begin{array}{r|ccl} f_{4} : & \mathbb{R}_{+} & \longrightarrow & \mathbb{R}_{+} \\ & x & \longmapsto & x^{2} \end{array}$

5. $\begin{array}{r|ccl} f_{5} : & \mathbb{R}_{-} & \longrightarrow & \mathbb{R}_{+} \\ & x & \longmapsto & x^{2} \end{array}$

1. Pour chacune, déterminer si elle est injective, surjective, bijective.

2. Préciser la bijection réciproque lorsqu'elle existe.

3. Quelle conclusion générale tirer de cet exercice ?

Corrigé

1. et 2. On rassemble les résultats.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & \text{Départ} & \text{Arrivée} & \text{Injective} & \text{Surjective} & \text{Réciproque} \\ \hline f_{1} & \mathbb{R} & \mathbb{R} & \text{non} & \text{non} & \text{---} \\ \hline f_{2} & \mathbb{R} & \mathbb{R}_{+} & \text{non} & \text{oui} & \text{---} \\ \hline f_{3} & \mathbb{R}_{+} & \mathbb{R} & \text{oui} & \text{non} & \text{---} \\ \hline f_{4} & \mathbb{R}_{+} & \mathbb{R}_{+} & \text{oui} & \text{oui} & y \mapsto \sqrt{y} \\ \hline f_{5} & \mathbb{R}_{-} & \mathbb{R}_{+} & \text{oui} & \text{oui} & y \mapsto -\sqrt{y} \\ \hline \end{array}

Justifions les points essentiels.

• Défaut d'injectivité pour $f_{1}$ et $f_{2}$ : on a $(-1)^{2}=1^{2}$ , et $-1$ comme $1$ appartiennent à $\mathbb{R}$ .

• Injectivité de $f_{3}$ , $f_{4}$ et $f_{5}$ : si $x^{2}=x'^{2}$ avec $x$ et $x'$ de même signe, alors $x=x'$ .

• Défaut de surjectivité pour $f_{1}$ et $f_{3}$ : le réel $-1$ n'a pas d'antécédent.

• Surjectivité de $f_{2}$ , $f_{4}$ et $f_{5}$ : pour $y \in \mathbb{R}_{+}$ , le réel $\sqrt{y}$ (respectivement $-\sqrt{y}$ ) est un antécédent situé dans l'ensemble de départ.

3. On tire de ce tableau la conclusion générale : $\boxed{\begin{array}{l} \text{L'injectivité et la surjectivité ne dépendent pas de la formule, mais du triplet} \\[1mm] \text{(départ, arrivée, graphe). Restreindre l'arrivée peut créer la surjectivité,} \\[1mm] \text{restreindre le départ peut créer l'injectivité.} \end{array}}$ C'est exactement ce que le cours illustre avec la fonction sinus.

Énoncé PDF, p. 4 Corrigé PDF, p. 6 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Existence du produit cartésien Relations, fonctions Injections, surjections, bijections Bijection réciproque, rétractions et sections

Thèmes

applications, injectivité, surjectivité, bijectivité, bijection réciproque

Notions

application, injection, surjection, bijection