Exercice 12

1. Soit $(x\,;x') \in E^{2}$ tel que $f(x)=f(x')$. En appliquant $g$ aux deux membres : $$g\big(f(x)\big)=g\big(f(x')\big) \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad (g \circ f)(x)=(g \circ f)(x')$$ Comme $g \circ f$ est injective, on en déduit $x=x'$. $$\boxed{f \text{ est injective.}}$$

2. Soit $z \in G$. Comme $g \circ f$ est surjective, il existe $x \in E$ tel que $(g \circ f)(x)=z$. Posons $y=f(x)$, qui appartient à $F$. Alors $g(y)=z$. $$\boxed{g \text{ est surjective.}}$$

3. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $g\big(f(n)\big)=|n|=n$ puisque $n$ est positif : $$\boxed{g \circ f = \mathrm{Id}_{\mathbb{N}}}$$

4. L'application $\mathrm{Id}_{\mathbb{N}}$ est injective et surjective. Pourtant :

• $g$ n'est pas injective, car $g(-1)=g(1)=1$ ;

• $f$ n'est pas surjective, car $-1 \in \mathbb{Z}$ n'a pas d'antécédent dans $\mathbb{N}$.

5. Injectivité. Soit $(x\,;x') \in E^{2}$ tel que $(g \circ f)(x)=(g \circ f)(x')$. Comme $g$ est injective, $f(x)=f(x')$ ; comme $f$ est injective, $x=x'$.

Surjectivité. Soit $z \in G$. Comme $g$ est surjective, il existe $y \in F$ tel que $g(y)=z$ ; comme $f$ est surjective, il existe $x \in E$ tel que $f(x)=y$. Alors $(g \circ f)(x)=z$. $$\boxed{g \circ f \text{ est bijective.}}$$