Exercice 13

1. On lit sur le graphique : $$\boxed{y=2{,}5 \;:\; 0 \text{ point} \qquad y=1 \;:\; 3 \text{ points} \qquad y=-2 \;:\; 2 \text{ points}}$$ Pour $y=-2$, la droite est tangente à la courbe au point d'abscisse $1$ et la recoupe à l'extrémité gauche, en $x=-2$.

2. La droite $y=1$ rencontre la courbe en trois points : le réel $1$ possède trois antécédents. La droite $y=2{,}5$ n'en rencontre aucun : le réel $2{,}5$ n'a pas d'antécédent. $$\boxed{f \text{ n'est ni injective, ni surjective.}}$$

3. L'ensemble d'arrivée est maintenant $[-2\,;2]$. Toute droite d'équation $y=a$ avec $a \in [-2\,;2]$ rencontre la courbe au moins une fois, mais la droite $y=1$ la rencontre encore trois fois. $$\boxed{g \text{ est surjective, mais toujours pas injective.}}$$ Restreindre l'ensemble d'arrivée a créé la surjectivité, sans rien changer à l'injectivité.

4. Il faut choisir $I$ de sorte que chaque droite $y=a$, pour $a \in [-2\,;2]$, rencontre la courbe restreinte exactement une fois : autrement dit, un intervalle sur lequel $\varphi$ est monotone et prend toutes les valeurs de $[-2\,;2]$. $$\boxed{I=[-2\,;-1] \qquad\text{ou}\qquad I=[-1\,;1] \qquad\text{ou}\qquad I=[1\,;2]}$$ Il y a donc trois réponses possibles. Sur $[-2\,;-1]$ et $[1\,;2]$, la fonction croît de $-2$ à $2$ ; sur $[-1\,;1]$, elle décroît de $2$ à $-2$.