Exercice 14

1. L'application $x \mapsto 2x+3$ est affine de coefficient directeur non nul : $$\boxed{E=\mathbb{R} \quad,\quad F=\mathbb{R} \quad,\quad \varphi^{-1}(y)=\dfrac{y-3}{2}}$$

2. On écrit $x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1$. La fonction est strictement croissante sur $[-1\,;+\infty[$, où elle prend toutes les valeurs de $[-1\,;+\infty[$ : $$\boxed{E=[-1\,;+\infty[ \quad,\quad F=[-1\,;+\infty[ \quad,\quad \varphi^{-1}(y)=-1+\sqrt{y+1}}$$ Le choix $E=\;]-\infty\,;-1]$ convient également, avec $\varphi^{-1}(y)=-1-\sqrt{y+1}$.

3. L'inverse est défini et à valeurs dans $\mathbb{R}^{*}$ : $$\boxed{E=\mathbb{R}^{*} \quad,\quad F=\mathbb{R}^{*} \quad,\quad \varphi^{-1}(y)=\dfrac{1}{y}}$$ Cette application est sa propre réciproque : c'est l'involution rencontrée à l'exercice 6.

4. L'exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et à valeurs strictement positives, avec pour limites $0$ et $+\infty$ : $$\boxed{E=\mathbb{R} \quad,\quad F=\;]0\,;+\infty[ \quad,\quad \varphi^{-1}(y)=\ln(y)}$$

Piège : prendre $F=\mathbb{R}$ pour l'exponentielle détruirait la surjectivité, puisqu'aucun réel négatif n'a d'antécédent.