Exercice 22

1. On a $A_{1} \cap A_{2}=\varnothing$, donc $f(A_{1} \cap A_{2})=\varnothing$. En revanche $f(A_{1})=\{1\}$ et $f(A_{2})=\{1\}$, donc : $$f(A_{1}) \cap f(A_{2}) = \{1\} \neq \varnothing$$

$$\boxed{\text{L'inclusion 6 de l'exercice 21 peut être stricte.}}$$ Le phénomène est clair : $-1$ et $1$ sont distincts mais ont la même image, ce que l'intersection des images ne peut pas distinguer.

2. Supposons $f$ injective. L'inclusion directe est acquise. Réciproquement, soit $y \in f(A_{1}) \cap f(A_{2})$. Il existe $x_{1} \in A_{1}$ et $x_{2} \in A_{2}$ tels que $f(x_{1})=y=f(x_{2})$. Par injectivité, $x_{1}=x_{2}$ : ce point appartient donc à $A_{1} \cap A_{2}$, et $y \in f(A_{1} \cap A_{2})$. $$\boxed{\text{Si } f \text{ est injective, } f(A_{1} \cap A_{2}) = f(A_{1}) \cap f(A_{2}).}$$

3. Soit $x \in A$. Alors $f(x) \in f(A)$ par définition de l'image directe, donc $x \in f^{-1}\big(f(A)\big)$ par définition de l'image réciproque. $$\boxed{A \subset f^{-1}\big(f(A)\big)}$$ Contre-exemple à l'égalité : avec $f : x \mapsto x^{2}$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $A=\{1\}$, on a $f(A)=\{1\}$ et : $$f^{-1}\big(f(A)\big)=f^{-1}\big(\{1\}\big)=\{-1 \;;\; 1\} \neq A$$

4. Supposons $f$ injective, et soit $x \in f^{-1}\big(f(A)\big)$. Alors $f(x) \in f(A)$ : il existe $a \in A$ tel que $f(x)=f(a)$. Par injectivité, $x=a$, donc $x \in A$. Avec la question 3, on obtient la double inclusion. $$\boxed{\text{Si } f \text{ est injective, } f^{-1}\big(f(A)\big) = A.}$$

5. L'inclusion $f\big(f^{-1}(B)\big) \subset B$ est toujours vraie (question 7 de l'exercice 21).

Supposons $B \subset f(E)$, et soit $y \in B$. Comme $y \in f(E)$, il existe $x \in E$ tel que $f(x)=y$. Alors $f(x)=y \in B$, donc $x \in f^{-1}(B)$, et $y=f(x) \in f\big(f^{-1}(B)\big)$. D'où l'égalité.

Réciproquement, si $f\big(f^{-1}(B)\big)=B$, alors $B$ est une image directe par $f$, donc $B \subset f(E)$. $$\boxed{f\big(f^{-1}(B)\big) = B \iff B \subset f(E)}$$