Exercice 23 Vrai ou faux

1. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ Une application est le triplet formé de l'ensemble de départ, de l'ensemble d'arrivée et du graphe. L'exercice 2 en donne trois illustrations.

2. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la propriété 1 du cours, qui autorise à écrire $h \circ g \circ f$ sans parenthèses.

3. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ L'exercice 4 fournit trois contre-exemples, dont $f : x \mapsto x+1$ et $g : x \mapsto x^{2}$.

4. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la définition même de l'injectivité : au plus un antécédent, éventuellement aucun.

5. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Par construction, tout élément de $f(E)$ admet au moins un antécédent. C'est la remarque du cours, illustrée au point (b) de son exemple.

6. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ L'image réciproque d'une partie a toujours un sens, même si $f$ n'est pas bijective. C'est un abus de notation signalé par le cours, et travaillé à l'exercice 20.

7. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la propriété 2 du cours.

8. $\boxed{\textbf{Fausse}}$ C'est la question 1 de l'exercice 2 : $x \mapsto x^{2}$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}_{+}$ sont deux applications distinctes, la seconde étant surjective et non la première.

9. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ Par définition, $f^{-1}(B)=\{x \in E \mid f(x) \in B\}$ est constituée d'éléments de $E$.

10. $\boxed{\textbf{Vraie}}$ C'est la question 3 de l'exercice 22, l'égalité n'ayant lieu que si $f$ est injective.