Exercice 24

1. Soient $x$ et $x'$ dans $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ tels que $f(x)=f(x')$ : $$\begin{aligned} \frac{x-1}{x+1}=\frac{x'-1}{x'+1} &\iff (x-1)(x'+1)=(x'-1)(x+1)\\ &\iff xx'+x-x'-1 = xx'+x'-x-1\\ &\iff 2x=2x' \iff x=x' \end{aligned}$$

2. Soit $y \in \mathbb{R}$. On cherche $x \neq -1$ tel que $f(x)=y$ : $$\frac{x-1}{x+1}=y \iff x-1=y(x+1) \iff x(1-y)=1+y$$ Si $y=1$, cette équation devient $0=2$, sans solution. Sinon, elle donne $x=\dfrac{1+y}{1-y}$, qui est bien différent de $-1$ : sinon $1+y=-1+y$, ce qui est absurde. $$\boxed{f\big(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\big)=\mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

3. L'application $f$ est injective et prend pour valeurs exactement les éléments de $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ : $$\boxed{f \text{ réalise une bijection de } \mathbb{R} \setminus \{-1\} \text{ sur } \mathbb{R} \setminus \{1\}, \text{ et } f^{-1}(y)=\dfrac{1+y}{1-y}.}$$

4. La composée $f \circ f$ n'a de sens qu'aux points $x$ où $f(x)$ appartient encore à $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Or : $$f(x)=-1 \iff x-1=-(x+1) \iff 2x=0 \iff x=0$$ La composée est donc définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1 \;;\; 0\}$, et pour un tel $x$ : $$(f \circ f)(x) = \frac{f(x)-1}{f(x)+1} = \frac{\dfrac{x-1}{x+1}-1}{\dfrac{x-1}{x+1}+1} = \frac{\dfrac{(x-1)-(x+1)}{x+1}}{\dfrac{(x-1)+(x+1)}{x+1}} = \frac{-2}{2x} = -\frac{1}{x}$$

$$\boxed{f \circ f : x \mapsto -\dfrac{1}{x} \quad\text{sur}\quad \mathbb{R} \setminus \{-1 \;;\; 0\}}$$ Piège : on pouvait s'attendre à retrouver $\mathrm{Id}$, comme pour les involutions de l'exercice 6. Ce n'est pas le cas : $f$ n'est pas involutive.

5. En composant $f \circ f$ avec elle-même, on obtient, là où c'est défini : $$(f \circ f) \circ (f \circ f) : x \mapsto -\frac{1}{-\frac{1}{x}} = x$$

$$\boxed{f \circ f \circ f \circ f = \mathrm{Id} \quad\text{sur}\quad \mathbb{R} \setminus \{-1 \;;\; 0 \;;\; 1\}}$$ En composant cette égalité par $f^{-1}$ à gauche, il vient $f^{-1}=f \circ f \circ f$. On peut le vérifier directement, pour $y \notin \{-1 \;;\; 0\}$ : $$(f \circ f \circ f)(y) = f\left(-\frac{1}{y}\right) = \frac{-\frac{1}{y}-1}{-\frac{1}{y}+1} = \frac{\dfrac{-1-y}{y}}{\dfrac{-1+y}{y}} = \frac{-1-y}{y-1} = \frac{1+y}{1-y}$$ qui est bien l'expression de $f^{-1}$ trouvée à la question 3. $$\boxed{f^{-1}=f \circ f \circ f}$$ Piège : cette égalité de formules ne doit pas faire oublier les ensembles de définition. L'application $f^{-1}$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ tout entier, alors que $f \circ f \circ f$ ne l'est que sur $\mathbb{R} \setminus \{0 \;;\; 1\}$ : les deux applications coïncident partout où la seconde a un sens, mais ne sont pas égales au sens strict du cours.

6. On écrit $f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}=1-\dfrac{2}{x+1}$, expression strictement croissante sur $[0\,;1]$. Comme $f(0)=-1$ et $f(1)=0$ : $$\boxed{f\big([0\,;1]\big)=[-1\,;0]}$$ Pour l'image réciproque, on résout le double encadrement. D'une part : $$\frac{x-1}{x+1} \geqslant 0 \iff x \in \;]-\infty\,;-1[ \;\cup\; [1\,;+\infty[$$ D'autre part : $$\frac{x-1}{x+1} \leqslant 1 \iff \frac{(x-1)-(x+1)}{x+1} \leqslant 0 \iff \frac{-2}{x+1} \leqslant 0 \iff x+1>0 \iff x>-1$$ En intersectant les deux conditions : $$\boxed{f^{-1}\big([0\,;1]\big)=[1\,;+\infty[}$$