Exercice 25

1. Aucun élément de $E$ n'appartient à $\varnothing$, et tous appartiennent à $E$ : $$\boxed{\mathbf{1}_{\varnothing} \text{ est l'application constante égale à } 0, \text{ et } \mathbf{1}_{E} \text{ l'application constante égale à } 1.}$$

2. Soit $x \in E$. On distingue deux cas.

• Si $x \in A \cap B$, alors $x \in A$ et $x \in B$, donc $\mathbf{1}_{A}(x)=\mathbf{1}_{B}(x)=1$ et le produit vaut $1$. Or $\mathbf{1}_{A \cap B}(x)=1$.

• Sinon, $x \notin A$ ou $x \notin B$ : l'un au moins des deux facteurs est nul, donc le produit vaut $0$. Or $\mathbf{1}_{A \cap B}(x)=0$.

Les deux membres coïncident dans les deux cas : $$\boxed{\mathbf{1}_{A \cap B} = \mathbf{1}_{A} \times \mathbf{1}_{B}}$$

3. Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$ telles que $\Phi(A)=\Phi(B)$, c'est-à-dire $\mathbf{1}_{A}=\mathbf{1}_{B}$.

Soit $x \in A$. Alors $\mathbf{1}_{A}(x)=1$, donc $\mathbf{1}_{B}(x)=1$, donc $x \in B$. Ainsi $A \subset B$, et le raisonnement symétrique donne $B \subset A$. $$\boxed{\Phi \text{ est injective.}}$$

4. Soit $g$ un élément de $\{0 \;;\; 1\}^{E}$, c'est-à-dire une application de $E$ dans $\{0 \;;\; 1\}$. Posons : $$A = g^{-1}\big(\{1\}\big) = \{x \in E \mid g(x)=1\}$$ qui est bien une partie de $E$. Soit $x \in E$ :

• si $g(x)=1$, alors $x \in A$, donc $\mathbf{1}_{A}(x)=1=g(x)$ ;

• si $g(x)=0$, alors $x \notin A$, donc $\mathbf{1}_{A}(x)=0=g(x)$.

Ces deux applications, de mêmes ensembles de départ et d'arrivée, coïncident en tout point : elles sont égales. $$\boxed{\Phi(A)=g, \text{ donc } \Phi \text{ est surjective.}}$$

5. On conclut : $$\boxed{\Phi \text{ est une bijection de } \mathcal{P}(E) \text{ sur } \{0 \;;\; 1\}^{E}.}$$ Supposons $E$ fini de cardinal $n$. La question 4 de l'exercice 3 donne : $$\mathrm{card}\left(\{0 \;;\; 1\}^{E}\right) = 2^{n}$$ et une bijection entre deux ensembles finis impose l'égalité de leurs cardinaux : $$\boxed{\mathrm{card}\,\mathcal{P}(E) = 2^{n}}$$ On retrouve ainsi, et cette fois par une démonstration, le résultat que le chapitre 1 s'était contenté d'annoncer après l'avoir vérifié sur de petits exemples.