Exercice 21

1. Soit $x \in f^{-1}(B_{1})$. Alors $f(x) \in B_{1}$, donc $f(x) \in B_{2}$ puisque $B_{1} \subset B_{2}$, donc $x \in f^{-1}(B_{2})$. $$\boxed{B_{1} \subset B_{2} \;\Longrightarrow\; f^{-1}(B_{1}) \subset f^{-1}(B_{2})}$$

2. Soit $x \in E$. On enchaîne les équivalences : $$\begin{aligned} x \in f^{-1}(B_{1} \cap B_{2}) &\iff f(x) \in B_{1} \cap B_{2} \\ &\iff f(x) \in B_{1} \;\text{ et }\; f(x) \in B_{2} \\ &\iff x \in f^{-1}(B_{1}) \;\text{ et }\; x \in f^{-1}(B_{2}) \\ &\iff x \in f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2}) \end{aligned}$$

3. Le même enchaînement, en remplaçant partout « et » par « ou », donne : $$\boxed{f^{-1}(B_{1} \cup B_{2}) = f^{-1}(B_{1}) \cup f^{-1}(B_{2})}$$

4. Soit $y \in f(A_{1})$. Il existe $x \in A_{1}$ tel que $f(x)=y$. Comme $A_{1} \subset A_{2}$, ce $x$ appartient aussi à $A_{2}$, donc $y \in f(A_{2})$. $$\boxed{A_{1} \subset A_{2} \;\Longrightarrow\; f(A_{1}) \subset f(A_{2})}$$

5. Première inclusion. Soit $y \in f(A_{1} \cup A_{2})$ : il existe $x \in A_{1} \cup A_{2}$ tel que $f(x)=y$. Si $x \in A_{1}$, alors $y \in f(A_{1})$ ; sinon $x \in A_{2}$ et $y \in f(A_{2})$. Dans les deux cas $y \in f(A_{1}) \cup f(A_{2})$.

Réciproquement, $A_{1} \subset A_{1} \cup A_{2}$ donne $f(A_{1}) \subset f(A_{1} \cup A_{2})$ d'après la question 4, et de même pour $A_{2}$. La réunion de ces deux parties est donc incluse dans $f(A_{1} \cup A_{2})$. $$\boxed{f(A_{1} \cup A_{2}) = f(A_{1}) \cup f(A_{2})}$$

6. On a $A_{1} \cap A_{2} \subset A_{1}$, donc $f(A_{1} \cap A_{2}) \subset f(A_{1})$ d'après la question 4 ; de même $f(A_{1} \cap A_{2}) \subset f(A_{2})$. Une partie incluse dans deux ensembles est incluse dans leur intersection. $$\boxed{f(A_{1} \cap A_{2}) \subset f(A_{1}) \cap f(A_{2})}$$

7. Soit $y \in f\big(f^{-1}(B_{1})\big)$. Il existe $x \in f^{-1}(B_{1})$ tel que $y=f(x)$. Or dire que $x \in f^{-1}(B_{1})$, c'est dire que $f(x) \in B_{1}$, c'est-à-dire $y \in B_{1}$. $$\boxed{f\big(f^{-1}(B_{1})\big) \subset B_{1}}$$

On observera l'asymétrie : l'image réciproque se comporte parfaitement bien vis-à-vis de l'intersection et de la réunion (questions 2 et 3), alors que l'image directe ne préserve que la réunion. C'est l'objet de l'exercice suivant.