Exercice 20

1. L'application $f$ n'est pas bijective : elle n'est ni injective, ni surjective (exercice 8, question 3, avec le cosinus ; le raisonnement est identique pour le sinus). $$\boxed{\text{Notation incorrecte : } f^{-1}(y) \text{ n'a de sens que pour une bijection.}}$$ Il faut bien distinguer $f^{-1}(y)$, qui désigne un élément et suppose $f$ bijective, de $f^{-1}(B)$, qui désigne une partie de l'ensemble de départ et a toujours un sens.

2. On cherche les réels dont le sinus est nul : $$\boxed{f^{-1}\big(\{0\}\big)=\{k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}}$$

3. Le sinus est positif exactement sur les intervalles $[2k\pi \,;\, (2k+1)\pi]$ : $$\boxed{f^{-1}\big([0\,;+\infty[\big)=\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \big[2k\pi \,;\, (2k+1)\pi\big]}$$

4. Sur $[0\,;\pi]$, le sinus croît de $0$ à $1$ puis décroît de $1$ à $0$ : il prend toutes les valeurs de $[0\,;1]$. $$\boxed{f\big([0\,;\pi]\big)=[0\,;1]}$$

5. L'image directe d'un singleton est le singleton de l'image : $$\boxed{f\big(\{0\}\big)=\{\sin(0)\}=\{0\}}$$

6. Le sinus prend toutes les valeurs de $[-1\,;1]$ et aucune autre : $$\boxed{f(\mathbb{R})=[-1\,;1]}$$ C'est l'image de $f$ au sens du cours : c'est en la prenant pour ensemble d'arrivée que l'on rend $f$ surjective.