Exercice 19

A. L'application $f : x \mapsto 2x-1$ est affine strictement croissante.

(1) L'image d'un intervalle par une fonction affine croissante est l'intervalle des images des bornes : $f(0)=-1$ et $f(3)=5$. $$\boxed{f\big([0\,;3]\big)=[-1\,;5]}$$

(2) On résout l'encadrement : $1 \leqslant 2x-1 \leqslant 7 \iff 2 \leqslant 2x \leqslant 8 \iff 1 \leqslant x \leqslant 4$. $$\boxed{f^{-1}\big([1\,;7]\big)=[1\,;4]}$$

(3) On résout $2x-1=0$, soit $x=\dfrac{1}{2}$. $$\boxed{f^{-1}\big(\{0\}\big)=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}}$$

(4) Les images des entiers relatifs sont les nombres $2k-1$ avec $k \in \mathbb{Z}$. $$\boxed{f(\mathbb{Z})=\{2k-1 \mid k \in \mathbb{Z}\} \text{ : l'ensemble des entiers impairs.}}$$

B. L'application $g : x \mapsto x^{2}-1$.

(1) Sur $[-2\,;1]$, la quantité $x^{2}$ prend toutes les valeurs de $[0\,;4]$ : le minimum $0$ est atteint en $x=0$ et le maximum $4$ en $x=-2$. $$\boxed{g\big([-2\,;1]\big)=[-1\,;3]}$$ Piège : il ne faut surtout pas se contenter des images des bornes, qui donneraient $[g(-2)\,;g(1)]=[3\,;0]$, dépourvu de sens. La fonction n'est pas monotone sur cet intervalle.

(2) On résout : $0 \leqslant x^{2}-1 \leqslant 3 \iff 1 \leqslant x^{2} \leqslant 4 \iff 1 \leqslant |x| \leqslant 2$. $$\boxed{g^{-1}\big([0\,;3]\big)=[-2\,;-1] \cup [1\,;2]}$$

(3) L'inégalité $x^{2}-1<-2$ équivaut à $x^{2}<-1$, ce qui est impossible. $$\boxed{g^{-1}\big(\;]-\infty\,;-2[\;\big)=\varnothing}$$

(4) Le carré $x^{2}$ décrit $\mathbb{R}_{+}$ lorsque $x$ décrit $\mathbb{R}$. $$\boxed{g(\mathbb{R})=[-1\,;+\infty[}$$