Exercice 18

1. Supposons $f \circ f = \mathrm{Id}_{E}$.

Injectivité. Soit $(x\,;x') \in E^{2}$ tel que $f(x)=f(x')$. En appliquant $f$ : $$x = (f \circ f)(x) = f\big(f(x)\big) = f\big(f(x')\big) = (f \circ f)(x') = x'$$

Surjectivité. Soit $y \in E$. Posons $x=f(y)$, qui appartient à $E$. Alors $f(x)=(f \circ f)(y)=y$. $$\boxed{\text{Une application involutive est bijective.}}$$

2. De $f \circ f = \mathrm{Id}_{E}$ et de la bijectivité de $f$, on tire, en composant par $f^{-1}$ à gauche : $$f^{-1} \circ f \circ f = f^{-1} \circ \mathrm{Id}_{E} \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \boxed{f^{-1}=f}$$

3. On applique les deux questions précédentes : $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Les quatre applications de l'exercice 6 sont bijectives et égales à leur} \\[1mm] \text{propre réciproque : } x \mapsto -x, \; x \mapsto \dfrac{1}{x}, \; x \mapsto 1-x \; \text{ et } \; x \mapsto \dfrac{x+1}{x-1}. \end{array}}$$

4. On a $(u \circ u)(x)=2 \times 2x=4x$, qui ne vaut $x$ que pour $x=0$ : $u$ n'est pas involutive. Elle est pourtant bijective, de réciproque $y \mapsto \dfrac{y}{2}$. $$\boxed{\text{La réciproque de la question 1 est fausse : une bijection n'est pas toujours involutive.}}$$