Exercice 17

1. C'est exactement la question 5 de l'exercice 12 : $$\boxed{g \circ f \text{ est bijective.}}$$

2. Il suffit de vérifier que $f^{-1} \circ g^{-1}$ se comporte comme la réciproque de $g \circ f$. Pour tout $z \in G$ : $$\big((g \circ f) \circ (f^{-1} \circ g^{-1})\big)(z) = g\Big(f\big(f^{-1}(g^{-1}(z))\big)\Big) = g\big(g^{-1}(z)\big) = z$$ et pour tout $x \in E$ : $$\big((f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f)\big)(x) = f^{-1}\Big(g^{-1}\big(g(f(x))\big)\Big) = f^{-1}\big(f(x)\big) = x$$ Les deux composées valent donc $\mathrm{Id}_{G}$ et $\mathrm{Id}_{E}$ : $$\boxed{(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}}$$

3. Première méthode. On a $(g \circ f)(x)=(2x+1)^{3}$. En résolvant $y=(2x+1)^{3}$, il vient $2x+1=y^{1/3}$, puis : $$x=\frac{y^{1/3}-1}{2}$$

Seconde méthode. On a $f^{-1}(y)=\dfrac{y-1}{2}$ et $g^{-1}(y)=y^{1/3}$, donc : $$\big(f^{-1} \circ g^{-1}\big)(y)=f^{-1}\big(y^{1/3}\big)=\frac{y^{1/3}-1}{2}$$

4. On répond en une phrase : $$\boxed{\text{Pour revenir en arrière, on défait les opérations dans l'ordre inverse.}}$$ Dans $g \circ f$, c'est $f$ qui agit d'abord et $g$ ensuite ; pour remonter, il faut donc défaire $g$ d'abord, puis $f$. L'image est celle d'un vêtement : on enfile la chaussette puis la chaussure, on retire la chaussure puis la chaussette.