Exercice 6

1. Pour tout réel $x$ : $(f \circ f)(x) = f(-x) = -(-x) = x$, donc : $$\boxed{f \circ f = \mathrm{Id}_{\mathbb{R}}}$$

2. Pour tout réel non nul $x$, le nombre $\dfrac{1}{x}$ est encore non nul, et : $$(g \circ g)(x) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x \qquad\text{donc}\qquad \boxed{g \circ g = \mathrm{Id}_{\mathbb{R}^{*}}}$$

3. Pour tout réel $x$ : $(u \circ u)(x) = 1-(1-x) = x$, donc : $$\boxed{u \circ u = \mathrm{Id}_{\mathbb{R}}}$$

4. Vérifions d'abord que $v$ est bien à valeurs dans $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Supposons $v(x)=1$ pour un $x \neq 1$ : $$\frac{x+1}{x-1}=1 \iff x+1=x-1 \iff 1=-1$$ ce qui est absurde. Donc $v(x) \neq 1$ pour tout $x$ de $\mathbb{R} \setminus \{1\}$, et la composée $v \circ v$ a bien un sens. On calcule alors : $$(v \circ v)(x) = \frac{v(x)+1}{v(x)-1} = \frac{\dfrac{x+1}{x-1}+1}{\dfrac{x+1}{x-1}-1} = \frac{\dfrac{(x+1)+(x-1)}{x-1}}{\dfrac{(x+1)-(x-1)}{x-1}} = \frac{2x}{2} = x$$

Piège : la vérification préalable n'est pas une formalité. Sans elle, $v(x)$ pourrait sortir de l'ensemble de départ de $v$, et l'écriture $v \circ v$ n'aurait aucun sens.