Exercice 5

1. On compose dans l'ordre indiqué : $$(g \circ f)(x) = g(x+1) = 2(x+1) = 2x+2$$

2. On regroupe cette fois les deux dernières applications : $$(h \circ g)(x) = h(2x) = 4x^{2} \qquad\text{puis}\qquad \big((h \circ g) \circ f\big)(x) = 4(x+1)^{2} = \boxed{(2x+2)^{2}}$$

3. Pour tout réel $x$ : $$\big(f \circ \mathrm{Id}_{\mathbb{R}}\big)(x) = f(x) = x+1 \qquad\text{et}\qquad \big(\mathrm{Id}_{\mathbb{R}} \circ f\big)(x) = \mathrm{Id}_{\mathbb{R}}(x+1) = x+1$$

4. La réponse est négative : $$\boxed{\text{Non : un exemple ne démontre jamais une propriété universelle.}}$$ C'est l'asymétrie signalée au chapitre 1 : un exemple ne prouve rien, un contre-exemple suffit à réfuter. La démonstration générale de l'associativité figure dans la propriété 1 du cours, où l'on compare les images d'un $x$ quelconque.