Exercice 4

On rappelle que dans $g \circ f$, c'est $f$ qui agit en premier.

1. On compose dans les deux sens : $$(g \circ f)(x) = g(2x+1) = (2x+1)^{2} \qquad\text{et}\qquad (f \circ g)(x) = f\big(x^{2}\big) = 2x^{2}+1$$

2. On procède de la même manière : $$(g \circ f)(x) = (x-3)^{3} \qquad\text{et}\qquad (f \circ g)(x) = x^{3}-3 \qquad\text{donc}\qquad \boxed{g \circ f \neq f \circ g}$$

3. On procède de la même manière : $$(g \circ f)(x) = \mathrm{e}^{x}+1 \qquad\text{et}\qquad (f \circ g)(x) = \mathrm{e}^{x+1} \qquad\text{donc}\qquad \boxed{g \circ f \neq f \circ g}$$

4. Ici $f=g$, donc les deux composées coïncident : $$(g \circ f)(x) = \big(x^{2}\big)^{2} = x^{4} = (f \circ g)(x) \qquad\text{donc}\qquad \boxed{g \circ f = f \circ g}$$

Conclusion : la composition n'est pas commutative en général, ce que montrent les trois premiers cas. Le quatrième rappelle qu'elle peut l'être dans des cas particuliers : « non commutative » ne signifie pas « jamais commutative ».