Exercice 3

1. Se donner une application de $E$ dans $F$, c'est se donner les trois images $f(1)$, $f(2)$ et $f(3)$, chacune valant $a$ ou $b$ : il y a deux choix indépendants pour chacune. $$\boxed{\text{Il y a } 2 \times 2 \times 2 = 8 \text{ applications de } E \text{ dans } F.}$$ Les voici, sous la forme $\big(f(1)\,;f(2)\,;f(3)\big)$ : $$(a\,;a\,;a) \quad (a\,;a\,;b) \quad (a\,;b\,;a) \quad (a\,;b\,;b) \quad (b\,;a\,;a) \quad (b\,;a\,;b) \quad (b\,;b\,;a) \quad (b\,;b\,;b)$$

2. Une application injective enverrait les trois éléments de $E$ sur trois éléments distincts de $F$, qui n'en compte que deux : chacun des huit triplets comporte donc au moins une répétition. $$\boxed{\text{Aucune n'est injective.}}$$ Une application est surjective lorsque $a$ et $b$ figurent tous deux dans le triplet, ce qui exclut $(a\,;a\,;a)$ et $(b\,;b\,;b)$ : $$\boxed{\text{Six sont surjectives.}}$$

3. Une application de $F$ dans $E$ est déterminée par le couple $\big(f(a)\,;f(b)\big)$, chaque coordonnée valant $1$, $2$ ou $3$ : il y en a $3 \times 3 = 9$. Elle est injective lorsque $f(a) \neq f(b)$, ce qui exclut les trois couples $(1\,;1)$, $(2\,;2)$ et $(3\,;3)$. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Il y a } 9 \text{ applications de } F \text{ dans } E, \text{ dont } 6 \text{ injectives.} \\[1mm] \text{Aucune n'est surjective : deux images ne peuvent pas couvrir trois éléments.} \end{array}}$$

4. On généralise le raisonnement de comptage : $$\boxed{\text{Si } E \text{ et } F \text{ sont finis, } F^{E} \text{ possède } (\text{card } F)^{\,\text{card } E} \text{ éléments.}}$$ C'est ce qui justifie la notation $F^{E}$ ; ce résultat sera réutilisé à l'exercice 25.